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精确可预测近似的谱理论探究

1. 引言

在量子力学的研究中，一些动力学可观测量并非精确可预测的。我们所进行的工作，是分析这些可观测量的“精确可预测近似”的谱理论。需要强调的是，我们并非要重新定义这些可观测量，这些近似仅用于计算“近似期望值”，以预测相关可观测量的测量结果。

我们所考虑的算子并非真正精确可预测的，它们只是通向精确可预测近似过程的第一次（或第二次、第三次）迭代结果，并且并非唯一确定的。当我们分析它们的谱时，或许能够了解所采用方法的意义。

在当前阶段，我们主要关注两个可观测量：位置和静电势，可能还会涉及相对论质量。经过适当的变量分离后，我们会遇到一类奇异的Sturm - Liouville问题，这类问题在ODE的定义区间内存在“第三奇点”，方程在此处“非椭圆”，其分布解并非$C^{\infty}$的，目前相关研究较少。

2. 二阶模型问题

为了处理这类奇异的Sturm - Liouville问题，我们先从一个简单的二阶ODE模型问题入手，该问题在希尔伯特空间$H = L^2(R)$（$R = {-\infty < x < \infty}$）中对“位置算子”$u(x) \to xu(x)$进行扰动：
[L_{\varepsilon} = x + \varepsilon\frac{1}{1 - \partial^2}, \quad \partial = \frac{\partial}{\partial x}]
[\frac{1}{1 - \partial^2}u(x) = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|x - y|}u(y)dy, \quad 0 \l