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量子计算：格罗弗算法振幅放大与应用

1. 格罗弗算法离散事件随机化的振幅放大

1.1 基本方法

在特定步骤后，基于 U U S S 和迭代算子对 (n + 1) 量子比特状态进行振幅放大是可行的。这种调整后的方法通过额外一个量子比特的代价，利用 oracle 查询可靠地获取解决方案。

1.2 最后阶段变化

该方法无需第二个量子比特就能保证及时得到解决方案，但详细解释较为困难。为实现理想终态，需在最后阶段进行调整。
首先，研究转换 $Q(\phi, \tau) = -U S_{\phi}^0 U^{-1}S_{\tau}^G$ 的通用特性，其中 $\phi$ 和 $\tau$ 是任意角度。
对于任意量子态 $|v\rangle$，有：
$U S_{\phi}^0 U^{-1}|v\rangle = |v\rangle - (1 - e^{i\phi})\langle v | U | 0\rangle U | 0\rangle$
推导过程如下：
[
\begin{align}
U S_{\phi}^0 U^{-1}|v\rangle&= U S_{\phi}^0 \left(\sum_{i = 1}^{N - 1} \langle v | U | i\rangle|i\rangle + \langle v | U | 0\rangle|0\rangle\right)\
&= U \left(\sum_{i = 1}^{N - 1} \langle v | U | i\rangle|i\rangle + \langle v | U e^{i\phi}