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容错量子电路的排队论模型分析

1. 排队系统模型

1.1 单服务器排队系统

将高级描述模型通过马尔可夫链转换为低级计算模型。以一个排队系统为例，其连续时间马尔可夫链（CTMC）可用于推导稳态概率向量 $\pi = {\pi_0, \pi_1, \pi_2, \pi_3, \ldots, \pi_i}$（这里 $i = 3$）。通过马尔可夫分析，求解 $\pi.Q = 0$，其中 $Q$ 是从导出的 CTMC 得到的生成矩阵。

对于有限容量 $K$ 的单服务器排队系统 M/M/1/K（如 M/M/1/3 - FCFS）：
- 当 $a = \frac{\lambda}{\mu} \neq 1$ 时，$\pi_i = \frac{(1 - a)a^i}{1 - a^{K + 1}}$，$0 \leq i \leq K$，否则 $\pi_i = 0$。
- 当 $a = \frac{\lambda}{\mu} = 1$ 时，$\pi_0 = \frac{1}{K + 1} = \pi_i$，$i = 1, \ldots, K$。

对于无限容量的单服务器排队系统 M/M/1 - FCFS，$\pi_i = (1 - a)a^i$，$0 \leq i \leq \infty$。

1.2 多服务器排队系统

单服务器模型可扩展为多服务器模型，包括有限容量（M/M/m/K）和无限容量（M/M/m）两种情况。服务器可以具有相同的服务率 $\mu$（同质系统），也可以具有不同的服务率（异质系统）。

以同质的 M/M/2/3 - FCFS 排队系统为例，通过马尔可夫分析可得：
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