集合幂级数
对于序列 \(a_0\sim a_{2^n-1}\) ，定义多元多项式 \(A(x_1\sim x_n)=\sum_{0\le I\le 2^n} a_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}\) ，其中 \(i_1\sim i_n\) 是 \(I\) 的二进制表示。
然后你就可以发现，这个东西本质就是集合的生成函数。
简记序列 \(a\) 的集合幂级数为 \(A(x)=\sum a_I x^I\)。
进一步定义集合幂级数的乘法，也就是 \(A(x)\cdot B(x)\)。
在此之前，应该先定义单项式的乘法，也就是 \(x^I\cdot x^J\)，在普通的生成函数里，乘法就是普通的乘法，所以 \(x^I\cdot x^J=x^{I+J}\)，这也构成了乘法卷积是下标相加的形式。集合幂级数中的乘法一般为位运算，有以下几种形式：
- \(x^I\cdot x^J=x^{I\oplus J}\)
- \(x^I\cdot x^J=x^{I\cup J}\)
- \(x^I\cdot x^J=x^{I\cap J}\)
性质：
与生成函数有同样的性质，对于 \(a * b= c\)，有 \(A(x)\cdot B(x)=C(x)\)。其中位运算相同，以下拿或举例：
\[\begin{align*}
A(x)\cdot B(x)&=(\sum a_I x^I) (\sum b_J x^J)\\
&=\sum a_Ib_Jx^{I\cup J}\\
&=C(x)
\end{align*}
\]