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谱理论中的PP近似与奇异点分析

1. 向量表示与算子矩阵

在特定的子空间中，向量 (u) 可唯一表示为 (u = u_1(r)\psi(\theta, \phi)+ u_2(r)\omega(\theta, \phi))，并能用列向量 ((u_1\ u_2)) 表示。此时，乘法算子 (\beta) 和 ((\alpha e_r)) 分别由以下矩阵表示：
- (\beta \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix})
- ((\alpha e_r) \sim \begin{pmatrix} 0 & i \ -i & 0 \end{pmatrix})

算子 (J_2)、(J_3) 和 (K) 可表示为与实标量 (\kappa)、(\frac{\kappa^2 - 1}{4}) 和 (m = p + \frac{1}{2}) 的乘法运算。而算子 (H) 表示为：
[H \sim -i\begin{pmatrix} 0 & i \ -i & 0 \end{pmatrix}\left{\partial_r + \frac{1 - \beta\kappa}{r}\right} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix} + V(r), \beta = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix}]

此外，算子 ((1 - \Delta)) 和 (E\cdot(\mu + \rho \times D)) 分别表示为：
- (1 - \D