Microsoft SEAL（Simple Encrypted Arithmetic Library）是微软开源的轻量级、高性能全同态加密（FHE）库，专为整数/浮点数的密文运算设计，支持BFV、CKKS、BGV等主流FHE方案，广泛应用于隐私计算、联邦学习、数据加密等场景，源码：https://github.com/microsoft/SEAL。
1 数学基础
1.1 多项式环
SEAL使用的基础环是：
BFV的所有运算都在这个多项式环中进行，符号含义如下：
Zq：系数域，即多项式的所有系数都取自“模q的整数集合”，q称为系数模数（一个大素数或多个素数的乘积），决定密文的噪声容忍度和运算深度。
xN+1：多项式模，要求N是2的整数幂（如4096、8192），满足xN≡-1 (mod xN+1)，这意味着所有多项式的次数都不会超过N-1（超过的项可通过xN = -1降次）。
Rq元素形式：任意元素是一个次数≤ N - 1的多项式，形如：
1.2 明文空间
明文（待加密的整数）会被编码为Rt中的多项式，t满足t≡1 (mod 2N)，这是批量加密的硬性要求，明文在进行加密前要进行编码，有两种编码方式：
单整数编码：将单个整数m编码为常数多项式f(x)=m，即所有高次项系数为0。
批量编码：将N个小整数[m0,m1,...,mN-1]直接做为多项式的系数，编码为：
1.3 RLWE问题
BFV的安全性基于RLWE问题（Ring Learning With Errors）的计算困难性，简单描述为：
给定多项式Rq，选择一个秘密多项式s(x)∈Rq（系数为0/1的短多项式），以及大量的“噪声多项式对”（ai(x), bi(x)），其中ai(x)是随机生成的，bi(x)=ai(x)s(x)+ei(x) (mod q)是通过秘密多项式s(x)计算得到的“响应多项式”，加入噪声ei(x)是为了让bi(x)看起来像一个完全随机的多项式，从而隐藏s(x)的存在，而在计算上无法从这些多项式对中恢复出秘密多项式s(x)。对于bi(x)其生成时每一部分的作用如下：
ai(x)：从多项式环Rq中均匀随机生成的多项式，相当于“公共输入”，可以公开。
s(x)：秘密多项式（系数仅为0或1），是整个RLWE问题的核心，必须严格保密。
ei(x)：小系数噪声多项式（系数仅为-1、0、1），是“隐藏秘密”的关键。
bi(x)：由ai(x)s(x)加上噪声得到的结果，与ai(x)一起构成公开的“多项式对”。
如果没有噪声ei(x)，即ei(x)=0，那么bi(x)=ai(x)s(x) (mod q)，此时攻击者可以通过多组(ai(x), bi(x))构建线性方程组，直接解密出秘密多项式s(x)，这就完全失去了安全性。而加入小噪声ei(x)后：
bi(x)不再是ai(x)s(x)的精确结果，而是一个“近似值”；
这个近似值的误差被控制在很小的范围内（由ei(x)的系数大小决定）；
从计算角度，目前没有任何算法（包括量子算法）能高效地从这些带噪声的近似结果中恢复出s(x)，这正是RLWE问题的“计算困难性”来源，也是BFV适合后量子秘密场景的原因。
1.4 缩放因子
在BFV同态加密方案中，缩放因子（Scaling Factor）是连接明文空间（Zt）和密文空间（Zq）的核心系数，本质是为了让明文多项式能“适配”系数模数q的范围，同时保证解密时可以精确还原明文。BFV的明文模数t远小于系数模数q（t<<q)，比如t=65537，q=260量级。
明文多项式m(x)∈Rt的系数范围是[0, t-1]，而密文多项式c(x)∈Rq的系数范围是[0, q-1]，如果直接将明文m(x)放入密文公式，由于t太小，明文信息会被噪声和掩码完全淹没，无法解密。因此需要一个缩放因子，将明文系数放大到q的量级，再参与密文计算。缩放因子贯穿加密和解密两个核心步骤，是明文和密文的“桥梁”。
（1）加密时：明文放大
在加密步骤中，明文多项式m(x)不会直接代入密文公式，而是先乘于缩放因子Δ，再放入到公式：
作用：将明文系数从[0, t-1]放大到[0, Δ*(t-1)]，这个范围在q的量级内，能避免明文被噪声覆盖。
（2）解密时：明文缩小
解密的核心步骤是先计算聚合多项式D(ct)，代入加密公式后可得：
此时需要反向缩放来还原明文：
概括来说，缩放因子不会直接参与运算，但会间接影响噪声的增长速度：
1) 加法运算：密文加法是系数直接相加，噪声线性叠加，缩放因子不影响噪声增长；
2) 乘法运算：密文乘法是多项式乘法，噪声会平方增长，而缩放因子Δ越大，噪声的规模也会越大，导致运算深度降低。
因此，在参数配置时，需要在“明文范围（t大小）”和“运算深度（q大小）”之间做权衡：
若t增大→Δ减小→噪声容忍度提升→运算深度增加；
若t减小→Δ增大→噪声容忍度降低→运算深度减小。
所以t与Δ成反比，需根据业务需求平衡明文范围和运算深度。
2 BFV核心流程
2.1 参数配置
参数配置决定方案的性能与安全性，BFV核心参数有4个，需严格满足数学约束：
参数约束：需满足q>t*(2N)d*B（d是目标运算深度，B是噪声上限），否则运算过程中噪声会“爆炸”导致解密失败。
2.2 密钥生成
基于RLWE问题生成私钥、公钥、重线性化密钥3中密钥，核心是构造含噪声的多项式对。
（1）私钥（sk）
随机生成一个短多项式s(x)∈Rq，系数仅为0或1（如s(x) = 1 + x2 + x5），私钥就是s(x)。
（2）公钥（pk）
随机生成多项式a(x)∈Rq，生成小希数噪声多项式e(x)∈Rq，计算b(x) = -a(x)s(x) + e(x) (mod q)，公钥是多项式对pk = (b(x), a(x))，可公开传播。这里的噪声e(x)让攻击者无法从公钥对中恢复私钥s(x)，目的是解决“公钥本身的安全性”。
（3）重线性化密钥（rlk）
密文乘法会导致密文从“2项多项式”膨胀为“3项多项式”，后续运算效率骤降。重线性化密钥用于将膨胀后的密文压缩回2项，生成逻辑与公钥类似，本质是一组扩展的RLWE多项式对。
2.3 加密
将明文多项式转为密文多项式，BFV的密文是Rq中的2项多项式对ct = (c0(x), c1(x))，加密过程分两步：
（1）明文编码：将整数明文m编码为明文多项式m(x)∈Rt；
（2）添加噪声与混淆：
随机生成两个小噪声多项式e0(x),e1(x)∈Rq，随机生成一个“掩码多项式”u(x)∈Rq（系数为0/1），计算密文：
核心设计：密文中包含明文信息m(x)，但被噪声e0/e1和掩码u(x)混淆，只有私钥能去除混淆和噪声。该步骤中的掩码多项式u(x)和噪声多项式e0(x),e1(x)是两套独立的安全机制，它们解决的是完全不同的问题，不能互相替代，如下图：
u(x)通过随机缩放实现公钥和明文间的非固定线性关系，噪声通过“近似”进一步打破它们之间精确的代数关系，使得攻击者无法从近似值中还原精确明文。
2.4 同态运算
这步的核心是：密文运算=多项式环运算，BFV支持秘密&密文（Ct&Ct）和密文&明文（Ct&Pt）的加减乘运算，所有运算都在多项式环Rq中进行，且无需密钥。
运算后的密文仍然是合法的RLWE密文，可继续参与后续运算——这就是「同态性」的体现。
2.5 解密
解密是加密的逆运算，核心是去除噪声、还原明文多项式，步骤如下：
（1）密文聚合
用私钥s(x)计算聚合多项式：
代入加密公式可推导：
（2）噪声去除
由于总噪声etotal<q/(2t)，可通过“舍入+模运算”还原明文：
（3）明文解码
将解密后的多项式m(x)转换回整数（单整数取常数项，批量加密取所有系数）。
解密成功条件：总噪声etotal<q/(2t)，若运算次数过多导致噪声爆炸，舍入后无法还原明文，则会解密失败——这是BFV“层次性”的本质，运算深度有限。
3 SEAL使用
3.1 源码编译
这里仅简单介绍下Windows下使用VS2022环境进行编译，下载源码并安装cmake，运行VS2022安装菜单下的“Developer Command Prompt for VS 2022”命令行，执行命令进行配置：
cmake -S . -B build -G "Visual Studio 17 2022" -A x64 -DCMAKE_INSTALL_PREFIX=./out
这里编译的是64位版本，并将安装目录设置为当前目录下的out文件夹，配置完成后再执行以下命令进行编译
cmake --build build --config Release #编译Release版本
cmake --build build --config Debug #编译Debug版本
编译完成后会生成seal-4.1.lib库文件：
然后执行以下命令进行安装：
cmake --install build
out下include中是头文件，lib中是静态库文件：
3.2 示例程序
使用VS2022创建空项目，并添加demo.cpp文件，内容如下：
1 #include <iostream> 2 #include <SEAL/SEAL.h> 3 4 using namespace std; 5 using namespace seal; 6 7 int main() { 8 // 步骤 1：配置加密参数（BFV 方案） 9 EncryptionParameters parms(scheme_type::bfv); 10 // 多项式模数：4096（2的幂次） 11 size_t poly_modulus_degree = 4096; 12 parms.set_poly_modulus_degree(poly_modulus_degree); 13 // 明文模数：支持批量运算，取值范围 2^20 14 parms.set_plain_modulus(PlainModulus::Batching(poly_modulus_degree, 20)); 15 // 系数模数：使用 BFV 默认参数 16 parms.set_coeff_modulus(CoeffModulus::BFVDefault(poly_modulus_degree)); 17 18 cout << "明文模数 t = " << parms.plain_modulus().value() << endl; 19 cout << "明文模数 t 比特数 = " << parms.plain_modulus().bit_count() << endl; 20 cout << "t mod 2N = " << (parms.plain_modulus().value() % (2 * poly_modulus_degree)) << endl; 21 22 vector<Modulus> coeff_mods = CoeffModulus::BFVDefault(poly_modulus_degree); 23 24 // 3. 系数模数 q（多素数乘积） 25 cout << "\n系数模数 q 的构成（素数列表）：" << endl; 26 int total_bits = 0; 27 for (size_t i = 0; i < coeff_mods.size(); i++) { 28 cout << "第" << i + 1 << "个素数：" << coeff_mods[i].value() 29 << "（比特数：" << coeff_mods[i].bit_count() << "）" << endl; 30 total_bits += coeff_mods[i].bit_count(); 31 } 32 cout << "系数模数总比特数 = " << total_bits << endl; 33 34 // 步骤 2：创建加密上下文，验证参数合法性 35 SEALContext context(parms); 36 // 打印上下文信息（可选，查看参数配置） 37 cout << "Context created successfully, scheme type: BFV" << endl; 38 39 // 步骤 3：生成密钥（适配 SEAL 4.1 API，核心修改部分） 40 KeyGenerator keygen(context); 41 // 4.1 版本：通过 create_public_key() 生成公钥（替代原 public_key()） 42 PublicKey public_key; 43 keygen.create_public_key(public_key); 44 // 4.1 版本：直接通过成员函数获取私钥（该接口未变更） 45 SecretKey secret_key = keygen.secret_key(); 46 // 4.1 版本：通过 create_relin_keys() 生成评估密钥（替代原 relin_keys()） 47 RelinKeys relin_keys; 48 keygen.create_relin_keys(relin_keys); 49 50 // 步骤 4：初始化加密器、解密器、评估器 51 Encryptor encryptor(context, public_key); 52 Decryptor decryptor(context, secret_key); 53 Evaluator evaluator(context); 54 55 // 步骤 5：明文准备（两个整数） 56 Plaintext plain1("123"); 57 Plaintext plain2("456"); 58 cout << "Original plaintext 1: " << plain1.to_string() << endl; 59 cout << "Original plaintext 2: " << plain2.to_string() << endl; 60 61 // 步骤 6：加密明文为密文 62 Ciphertext cipher1, cipher2; 63 encryptor.encrypt(plain1, cipher1); 64 encryptor.encrypt(plain2, cipher2); 65 cout << "Plaintext encrypted to ciphertext successfully" << endl; 66 67 // 步骤 7：密文同态运算（加法 + 乘法） 68 // 密文加法 69 Ciphertext cipher_add; 70 evaluator.add(cipher1, cipher2, cipher_add); 71 // 密文乘法 + 重线性化（减少密文大小） 72 Ciphertext cipher_mult; 73 evaluator.multiply(cipher1, cipher2, cipher_mult); 74 evaluator.relinearize_inplace(cipher_mult, relin_keys); 75 76 // 步骤 8：解密密文，验证结果 77 Plaintext plain_add, plain_mult; 78 decryptor.decrypt(cipher_add, plain_add); 79 decryptor.decrypt(cipher_mult, plain_mult); 80 cout << "Ciphertext add result: " << plain_add.to_string() << endl; 81 cout << "Ciphertext multiply result: " << plain_mult.to_string() << endl; 82 83 return 0; 84 }
将之间产生的out文件夹下的include和lib拷贝到项目文件夹下，配置项目的C/C++编译包含头文件路径，库文件路径以及输入库，即可进行编译。
编译完成后运行程序，输出如下：
在该示例程序中，多项式模数N是4096，明文模数t是1032193，位宽为20bits，系数模数q是3个素数的乘积68719403009*68719230977*137438822401=0x1ffff4400622fecd904df7f92001，位宽是109bits，示例中演示了0x123和0x456的加法和乘法运行，可见加密运算后的解密结果和未加密运算的结果完全一致。