1．(4分)\(\dfrac{6×30^{2024}+30^{2025}}{30^{2024}-10×30^{2023}} =\)____.
【答案】\(54\)
【解答】原式\(=\dfrac{30^{2023} (6×30+900)}{30^{2023} (30-10)} =\dfrac{180+900}{20} =9+45=54\).
【小结】考核幂的化简；提取公约数.
2．(4分) 方程\(\dfrac{9}{x+\sqrt{32-x^2} } +\dfrac{9}{x-\sqrt{32-x^2} } =x\)的正解为____．
【答案】\(5\)
【解答】\(\dfrac{9}{x+\sqrt{32-x^2} } +\dfrac{9}{x-\sqrt{32-x^2} } =x\)
\(⟹\dfrac{18x}{x^2-(32-x^2 )} =x⟹\dfrac{18}{2x^2-32} =1⟹x=5\).
【小结】考核根式方程；分母含根式想到分母有理化，或者直接通分.
3．(4分) 等腰\(△ABC\)的底边\(AC\)长为\(30\)，腰上的高为\(24\)，则\(△ABC\)的腰长为____．
【答案】\(25\)
【解答】当\(△ABC\)是锐角三角形，如下图，
\(∵AC=30\)，\(AD=24\)，\(∴CD=18\)，
设\(AB=x\)，则\(BD=x-18\)，
\(∴x^2=24^2+(x-18)^2\)，解得\(x=25\)；
当\(△ABC\)是钝角三角形，如下图，
\(∵AC=30\)，\(AD=24\)，\(∴CD=18\)，
设\(AB=x\)，则\(BD=18-x\)，
\(∴x^2=24^2+(18-x)^2\)，解得\(x=25\)；该情况不存在.
综上\(△ABC\)的腰长为\(25\).
【小结】考核三角形；注意分类讨论.
4．(4分) 已知实数\(m，n\)满足\(20m^2+24m+1=0\)，\(n^2+24n+20=0\)且\(mn≠1\)，则\(\left|\dfrac{60n}{1+mn} \right|=\)____．
【答案】\(50\)
【解答】由\(n^2+24n+20=0\)，两边同除以\(n^2\)得\(20⋅\dfrac{1}{n^2} +24⋅\dfrac{1}{n} +1=0\)，
\(∵mn≠1\)，\(∴\dfrac{1}{n}≠m\)，
\(∴\dfrac{1}{n}\)与\(m\)为方程\(20x^2+24x+1=0\)的两根，
\(∴m+\dfrac{1}{n} =-\dfrac{24}{20} =-\dfrac{6}{5} ⟹\dfrac{mn+1}{n} =-\dfrac{6}{5}\)，
\(∴\left|\dfrac{60n}{1+mn} \right|=\left|60×(-\dfrac{5}{6} )\right|=50\).
【小结】考核方程组；
若互不相等的\(m，n\)都满足\(ax^2+bx+c=0\)，则\(m，n\)为方程\(ax^2+bx+c=0\)的两根；
进而想到韦达定理.
5．(4分) 若\(x\)为全体实数，则函数\(y=x^2-2|x|+3\)与\(y=2x^2-4x+3\)的交点有____个．
【答案】\(2\)
【解答】****方法1
\(y=x^2-2|x|+3=\left\{
\begin{array}{c}
x^2-2x+3，x>0\\
x^2+2x+3，x<0
\end{array}
\right.
\)，
画出两个函数的图象如下图，
所以交点有\(2\)个；
方法2 由\(\left\{
\begin{array}{c}
y=x^2-2|x|+3\\
y=2x^2-4x+3
\end{array}
\right.
\)得\(x^2-2|x|+3=2x^2-4x+3\)(※)，
化简得\(x^2-4x+2|x|=0\)，
当\(x≥0\)时，\(x^2-2x=0⟹x=0\)，\(x=2\)；
当\(x<0\)时，\(x^2-6x=0⟹x=0\)，\(x=6\)，均不符合\(x<0\)；
所以方程(※)有两个解，所以交点有\(2\)个.
【小结】考核二次函数；遇到含绝对值，想到利用\(|x|=\left\{
\begin{array}{c}
x，x≥0\\
-x，x<0
\end{array}
\right.
\)去掉绝对值符号.
两函数的交点问题可转化为求解方程组.
6．(4分) 若\(abc≠0\)，\(\dfrac{a}{b+c} +\dfrac{b}{c+a} +\dfrac{c}{a+b} =1\)，则\(\dfrac{a^2}{b+c} +\dfrac{b^2}{c+a} +\dfrac{c^2}{a+b} =\)____．
【答案】\(0\)
【解答】由\(\dfrac{a}{b+c} +\dfrac{b}{c+a} +\dfrac{c}{a+b} =1\)，
两边乘\(a+b+c\)得\(\dfrac{a^2+a(b+c)}{b+c} +\dfrac{b^2+b(c+a)}{c+a} +\dfrac{c^2+c(a+b)}{a+b} =a+b+c\)，
所以\(\dfrac{a^2}{b+c} +\dfrac{b^2}{c+a} +\dfrac{c^2}{a+b} +a+b+c= a+b+c\)
\(⟹\dfrac{a^2}{b+c} +\dfrac{b^2}{c+a} +\dfrac{c^2}{a+b} =0\).
【小结】考核代数式；注意已知等式与所求式子之间的联系.
7．(4分)\(K\)为\(△ABC\)内一点，过点\(K\)作三边的垂线\(KM\)，\(KN\)，\(KP\)，若\(AM=3\)，\(BM=5\)，\(BN=4\)，\(CN=2\)，则\(AP^2=\)____．
【答案】\(12\)
【解答】连接\(KA\)，\(KB\)，\(KC\)，
由\(KA^2-9=KB^2-25=MK^2\)得\(KA^2-KB^2=-16\)，
由\(KB^2-16=KC^2-4=NK^2\)得\(KB^2-KC^2=12\)，
由\(KA^2-PA^2=KC^2-16=PK^2\)得\(KC^2-KA^2=16-PA^2\)，
以上三等式相加得\(0=12-PA^2\)，
\(∴PA^2=12\).
【小结】考核三角形和勾股定理；遇到两个含公共边的直角三角形，可以针对公共边用两次勾股定理.
8．(4分) 已知\(a，b，c\)、令\(a，b，c\)的最小值为\(\min\{a，b，c\}\)，已知\(f(x)=\min\{4x+1，x+2，-2x+4\}\)，若\(f(x)\)的最大值为\(M\)，则\(6M=\)____．
【答案】\(16\)
【解答】利用数形结合的方法求解，先画出三个一次函数图象\(y=4x+1\)、\(y=x+2\)、\(y=-2x+4\)，如图\(1\)；根据题意，\(a，b，c\)的最小值为\(\min \{a，b，c\}\)，则\(y=f(x)\)图象为三条直线中最低的部分组成，如图\(2\)红色部分，即\(M=y_A\)；
由\(\left\{
\begin{array}{c}
y=x+2\\
y=-2x+4
\end{array}
\right.
\)解得\(\left\{
\begin{array}{c}
x=\dfrac{2}{3}\\
y=\dfrac{8}{3}
\end{array}
\right.
\)，所以\(M=\dfrac{8}{3}\)，\(6M=16\).
【小结】考核新定义；新定义理解定义是关键.
9．(4分) 已知正方形\(OBAC\)，以\(OB\)为半径作圆，过\(A\)的直线交\(⊙O\)于\(M\)，\(Q\)，交\(BC\)于\(P\)，\(R\)为\(PQ\)中点，若\(AP=18\)，\(PR=7\)，则\(BC=\)____．
【答案】\(\dfrac{96\sqrt{46} }{23}\)
【解答】过点\(O\)作\(OH⊥BC\)交\(BC\)于点\(H\)，
依题意得\(PQ=14\)，\(AQ=32\)，
设正方形边长为\(a\)，\(AM=x\)，则\(BC=\sqrt{2} a\)，\(PM=18-x\)，
由圆的切割线定理可得\(AB^2=AM\cdot AQ⟹a^2=32x\)，
相交弦定理可得\(PM\cdot PQ=CP\cdot BP=(BH+PH)(OH-PH)=BH^2-PH^2\)，
易得\(∆APC≅∆OPC\)，所以\(OP=AP=18\)，
所以\(PH^2=OP^2-OH^2=18^2-\left(\dfrac{\sqrt{2}a}{2}\right)^2=18^2-\dfrac{a^2}{2}\)，
所以\(14(18-x)=\left(\dfrac{\sqrt{2} a}{2} \right)^2-\left(18^2-\dfrac{a^2}{2} \right)⟹14(18-x)=a^2-18^2=32x-18^2\)，
解得\(x=\dfrac{288}{23}\)，
所以\(BC=\sqrt{2} a=\sqrt{2} \cdot \sqrt{32x} =8\sqrt{x} =\dfrac{96\sqrt{46} }{23}\).
【小结】考核平行四边形与圆；
相交弦定理\(AP\cdot BP=CP\cdot DP\)；切割线定理\(AB^2=AC\cdot AD\)；割线定理\(AB\cdot AC=AD\cdot AE\).
10．(4分) 若\(a，b，c，d，e\)为两两不同的整数，则\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(d-e)^2+(e-a)^2\)的最小值为____ ．
【答案】\(14\)
【解答】设\(x_1=a-b，x_2=b-c，x_3=c-d，x_4=d-e，x_5=e-a\)，
则问题转化为均不为\(0\)的\(x_1，x_2，x_3，x_4，x_5\)满足\(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0\)，
求\(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2\)的最小值.
从\(5\)个数的奇偶数出发，求最小值则\(5\)个数中奇数取\(1\)，偶数取\(2\)；
\(5\)个数不可能全是奇数或\(3\)奇\(2\)偶，则有如下\(3\)种情况：
① 若是\(2\)奇\(3\)偶，
则\(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2=1^2+1^2+2^2+2^2+2^2=14\)，
比如\(a=2,b=4，c=3，d=1，e=0\)；
② 若是\(4\)奇\(1\)偶，
可能\(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2=1^2+1^2+1^2+1^2+2^2=8\)，但\(4\)个奇数都是\(1\)，说明\(5\)个数是相邻的，第五个差是\(4\)不可能是\(2\)；
或可能\(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2=1^2+1^2+1^2+3^2+2^2=16\)，但它比\(14\)大；
③ 若全是偶数，则最小值为\(2^2+2^2+2^2+2^2+2^2=20\)，但它比\(14\)大；
综上所述，所求最小值为\(14\).
【小结】考核代数；本题可翻译为“\(5\)个互不相等的数，使得它们每两两差平方和最小”，那数字当然尽量接近，比如\(5\)个数是\(0、1、2、3、4\)，接着是如何排序的问题了，比如
| \(a\) | \(b\) | \(c\) | \(d\) | \(e\) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 0 | 2 | 3 | 4 | 1 |
| 2 | 3 | 1 | 4 | 0 |
| …… |
每个两两数之间相差\(1、2、3、4\)，要求最小值还是有些复杂；
注意到\(a-b、b-c、c-d、d-e、e-a\)的和为\(0\)，用换元法，简化问题；对\(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0\)中五个数进行奇偶数分析.
11．(6分)\(PA\)，\(PB\)分别为\(⊙O_1\)和\(⊙O_2\)的切线，连接\(AB\)交\(⊙O_1\)于\(C\)交\(⊙O_2\)于\(D\)，且\(AC=BD\)，已和\(⊙O_1\)和\(⊙O_2\)的半径分别为\(20\)和\(24\)，则\(180\left(\dfrac{PA}{PB} \right)^2=\)____．
【答案】\(125\)
【解答】过点\(O_1\)作\(O_1 M⊥AB\)，过点\(O_2\)作\(O_2 N⊥AB\)，过点\(P\)作\(PH⊥AB\)，如下图，
由于\(PA\)，\(PB\)分别为\(⊙O_1\)和\(⊙O_2\)的切线，
易得\(∆APH\sim ∆O_1 AM\)，\(∆BPH\sim ∆O_2 BN\)，
所以\(\dfrac{PA}{O_1 A} =\dfrac{PH}{AM} ⇒\dfrac{PA}{20} =\dfrac{PH}{AM}\)，\(\dfrac{PB}{O_2 B} =\dfrac{PH}{BN} ⇒\dfrac{PB}{24} =\dfrac{PH}{BN}\)，
因为\(AC=BD\)，由垂径定理可得\(AM=BN\)，
所以\(\dfrac{PA}{20} =\dfrac{PB}{24} ⇒\dfrac{PA}{PB} =\dfrac{20}{24} =\dfrac{5}{6}\)，所以\(180\left(\dfrac{PA}{PB} \right)^2=180×\left(\dfrac{5}{6}\right )^2=125\).
【小结】考核圆；三垂直模型，易想到相似求解.
12．(6分) 已知\(a，b，c\)正整数，且只要\(\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c} <1\)则\(\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c} ≤m\)，得\(m\)的最小值为\(\dfrac{r}{s}\)(\(\dfrac{r}{s}\)为最简分数)，则\(r+s=\)____．
【答案】\(83\)
【解答】理解题意：求\(m\)最小值，即找\(a，b，c\)使得\(\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c}\)最接近\(1\)，尽量使得\(a，b，c\)的值小些；
\(a，b，c\)不可能有\(2\)个\(2\)，从取\(1\)个\(2\)开始列举，
令\(a=2，b=3，c=6\)，得\(\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c} =1\)不符合题意；
令\(a=2，b=3，c=7\)得\(\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c} =\dfrac{41}{42}\)，此时不会再取\(c\)比\(7\)的数，要不最后\(\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c}\)一定比\(\dfrac{41}{42}\)要小；
令\(a=2，b=4，c=5\)得\(\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c} =\dfrac{19}{20} <1\)，\(b，c\)的值不能再取大了；
令\(a=3，b=3，c=4\)得\(\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c} =\dfrac{11}{12} <1\)，\(b，c\)的值不能再取大了；
此时\(a，b，c\)不能再取大了，否则\(\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c}\)的值均会比以上\(3\)个数离\(1\)更远；
由于\(\dfrac{41}{42} >\dfrac{19}{20} >\dfrac{11}{12}\)，所以最接近\(1\)的是\(\dfrac{r}{s} =\dfrac{41}{42}\)，即\(r+s=83\).
【小结】考核代数；要懂得把题意用自己通俗语言翻译出来.
- (6分) 对于任意实数\(x，y\)定义运算符号\(*\)，且\(xy\)有唯一解，满足\((a*b)+c=(a*c)+(b*c)\)，\(0*(a+b)=(0*a)+(0*b)\)，则\(20*24=\)___．
【答案】\(22\)
【解答】在\(0*(a+b)=(0*a)+(0*b)\)中，令\(a=b=0\)得\(0*0=(0*0)+(0*0)\)，
所以\(0*0=0\)，
在\((a*b)+c=(a*c)+(b*c)\)，令\(a=c=0\)得\(0*b=(0*0)+(b*0)=b*0\)，
在\((a*b)+c=(a*c)+(b*c)\)，令\(a=b=0\)得\(0*0+c=(0*c)+(0*c)\)，
所以\((0*c)=\dfrac{c}{2}\)，
在\((a*b)+c=(a*c)+(b*c)\)中，令\(c=0\)得\(a*b=(a*0)+(b*0)\)，
所以\(20*24=(20*0)+(24*0)=(0*20)+(0*24)=0*44=\dfrac{44}{2} =22\)，
【小结】考核新定义；本质是群的概念，要求出单位元：00，明确运算是否符合交换律：0b=(b0)=b0等.
14．(6分) 已知正整数\(A，B，C\)且\(A>B>C\)，满足\(\overline{ABC}^2+\overline{BCA}^2+\overline{CAB}^2=879897\)，则\(\overline{ABC}=\)___．
【答案】\(832\)
【解答】
方法1 \(\overline{ABC}^2+\overline{BCA}^2+\overline{CAB}^2\)
\(=(100A+10B+C)^2+(100B+10C+A)^2+(100C+10A+B)^2\)
\(=10000(A^2+B^2+C^2 )+100(A^2+B^2+C^2 )+A^2+B^2+C^2+2000(A\cdot B+A\cdot C+B\cdot C)\)
\(+200(A\cdot B+A\cdot C+B\cdot C)+20(A\cdot B+A\cdot C+B\cdot C)\)
\(=10101(A^2+B^2+C^2 )+2220(A\cdot B+A\cdot C+B\cdot C)=879897\)，
所以\(91(A^2+B^2+C^2 )+20(A\cdot B+A\cdot C+B\cdot C)=7927\)，
\(7927\)个位数为\(7\)，则\(A^2+B^2+C^2\)的个位数为\(7\)，\(A^2+B^2+C^2\)的可能值为\(87，77，67\)等，
而\(A\cdot B+A\cdot C+B\cdot C\)的最大值为\(9×8+9×7+8×7=191\)；
①\(91×87=7917\)，则\(A\cdot B+A\cdot C+B\cdot C= \dfrac{1}{2}\)不可能；
②\(91×67=6097\)，则\(A\cdot B+A\cdot C+B\cdot C=91.5\)不可能；
③\(91×57=5187\)，则\(A\cdot B+A\cdot C+B\cdot C=137\)；
由\(\left\{
\begin{array}{c}
A^2+B^2+C^2=57\\
A\cdot B+A\cdot C+B\cdot C=137
\end{array}
\right.
\)
得\((A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2A\cdot B+2A\cdot C+2B\cdot C=352\)，不可能；
④\(91×47=4277\)，则\(A\cdot B+A\cdot C+B\cdot C=182.5\)不可能；
⑤\(91×77=7007\)，则\(A\cdot B+A\cdot C+B\cdot C=46\)；
由\(\left\{
\begin{array}{c}
A^2+B^2+C^2=77\\
A\cdot B+A\cdot C+B\cdot C=46
\end{array}
\right.
\)得\(A+B+C=13\)，
由正整数\(A，B，C\)且\(A>B>C\)，
列举尝试可得\(A=8，B=3，C=2\)，即\(\overline{ABC}=832\).
方法2\(1^2=1，2^2=4，3^2=9，4^2=16，5^2=25，6^2=36，7^2=49，8^2=64，9^2=81\)，
\(879897\)个位数为\(7\)，即在\(1，4，5，6，9\)中选出\(3\)个数(可重复)使得和个位数是\(7\)，即\(27\)或\(17\)或\(7\)，有以下几种情况：
①若和为\(7\)，只有\(1+1+5=7\)，此时\(A，B，C\)分别为\(9，5，1\)；
②若和为\(17\)，可能是\(5+6+6=17\)，此时\(A，B，C\)分别为\(6，5，4\)；
可能是\(4+9+4=17\)，此时\(A，B，C\)分别为\(8，3，2\)或\(8，7，2\)；
③若和为\(27\)，只有\(9+9+9=27\)，此时\(A，B，C\)没有符合的情况；
接着检验，
①当\(A=9，B=5，C=1\)，而\(\overline{ABC}^2=9512>950^2=90250>879897\)，舍去；
②当\(A=6，B=5，C=4\)，而\(\overline{ABC}^2+\overline{BCA}^2+\overline{CAB}^2=6542+5462+4562=942057\)，舍去；
③当\(A=8，B=7，C=2\)，而\(\overline{ABC}^2+\overline{BCA}^2=8722+7822>8002+7002=1130000>879897\)，故舍去；
④当\(A=8，B=3，C=2\)，而\(\overline{ABC}^2+\overline{BCA}^2+\overline{CAB}^2=879897\)；
综上，\(\overline{ABC}=832\).
【小结】考核代数；从奇偶数或尾数的角度思考是常见的方法，出现多种情况要穷举时，尽量缩小范围.
15.(6分) 等腰三角形边长为整数，其的面积为周长的\(12\)倍，则所有可能的等腰三角形的腰长之和为___．
【答案】\(560\)
【解答】设等腰三角形\(ABC\)的腰\(AB=AC=x\)，底\(BC=t\)，
过点\(A\)作\(AD⊥BC\)交\(BC\)于\(D\)，则\(CD= \dfrac{t}{2}\)，
则\(S_{∆ABC}= \dfrac{1}{2} ×t×\sqrt{x^2- \dfrac{t^2}{4}} = \dfrac{1}{4} t\sqrt{4x^2-t^2}\)，
若\(t\)是奇数，则\(\sqrt{4x^2-y^2}\)是奇数，\(S_{∆ABC}\)是个分数，不可能是周长的\(12\)倍，
故\(t\)是偶数；
底\(BC=2y\)，则\(CD=y\)(\(y\)是整数)，
依题意可得\(12(2x+2y)= \dfrac{1}{2} ×2y×\sqrt{x^2-y^2}\)
\(⇒24(x+y)=y\sqrt{x^2-y^2}\)
\(⇒24^2 (x+y)^2=y^2 (x^2-y^2)\)
\(⇒24^2 (x+y)=y^2 (x-y)\)
\(⇒ \dfrac{24^2}{y^2} = \dfrac{x-y}{x+y} =1- \dfrac{2y}{x+y} =1- \dfrac{2}{ \dfrac{x}{y} +1}\)
\(⇒ \dfrac{2}{\dfrac{x}{y} +1} =1- \dfrac{24^2}{y^2} = \dfrac{y^2-24^2}{y^2}\)
\(⇒ \dfrac{x}{y} +1= \dfrac{2y^2}{y^2-24^2}\)
\(⇒ \dfrac{x}{y} = \dfrac{2y^2}{y^2-24^2} -1=1+ \dfrac{2×24^2}{y^2-24^2}\)
\(⇒x=y+ \dfrac{2×24^2y}{y^2-24^2} =y+576× \dfrac{2y}{y^2-24^2}\)\(=y+576×\left( \dfrac{1}{y+24} + \dfrac{1}{y-24} \right)\)
因为\(x，y\)为整数，所以\(y+24\)与\(y-24\)均是\(576\)的因数，它们还相差\(48\)，
而\(576\)的因数有\(1，576，2，288，3，192，4，144，6，96，8，72，\)\(9，64，12，48，
16，36，18，32， 24\)；
所以\(\left\{
\begin{array}{c}
y-24=16\\
y+24=64
\end{array}
\right.
\)，\(\left\{
\begin{array}{c}
y-24=24\\
y+24=72
\end{array}
\right.
\)，\(\left\{
\begin{array}{c}
y-24=48\\
y+24=96
\end{array}
\right.
\)，\(\left\{
\begin{array}{c}
y-24=96\\
y+24=144
\end{array}
\right.
\)，\(\left\{
\begin{array}{c}
y-24=144\\
y+24=192
\end{array}
\right.
\)，
所以\(y=40\)或\(48\)或\(72\)或\(120\)或\(168\)，
对应的\(x=85\)或\(80\)或\(90\)或\(130\)或\(175\)，
则所求的值为\(85+80+90+130+175=560\).
【小结】考核综合分析；本题用到了裂项\(\dfrac{2y}{y^2-24^2 } = \dfrac{1}{y+24} + \dfrac{1}{y-24}\)，从奇偶数的角度缩小讨论范围.