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2026/1/22 11:38:50 网站建设项目流程

2022年深圳中学自招真题

全卷共15题，满分70分

1、(4分) 已知$\dfrac{a}{b}=a+2$，$\dfrac{b}{a}=a-2$，则$\dfrac{b^2}{(a-2)^2 }=$____．
【答案】 $5$
【解答】 将两式相乘得，$a^2-4=1$，即$a^2=5$；
又$\dfrac{b}{a}=a-2⇒b=a(a-2)$，所以$\dfrac{b^2}{(a-2)^2 }=a^2=5$．
【小结】 考核代数式变换；注意各式子的关系，比如和差积商是否为定值等；解方程组用到消元法.

2、(4分) 当$x=14$时，$\sqrt{x-2+\sqrt{x-2+\sqrt{x-2+\sqrt{x+2}}}}=$____．
【答案】 $4$
【解答】 $\sqrt{x-2+\sqrt{x-2+\sqrt{x-2+\sqrt{x+2}}}}=\sqrt{14-2+\sqrt{14-2+\sqrt{14-2+\sqrt{14+2}}}}

\[=\sqrt{14-2+\sqrt{14-2+\sqrt{14+2}}} =\sqrt{14-2+\sqrt{14+2}} =\sqrt{14+2}=4$. **【小结】** 考核代数式化简、二次根式.  3、(4分) 在$△ABC$中，$∠A$、$∠B$均为锐角，$\sin⁡A= \dfrac{5}{13}$，$\tan⁡B=2$，$AB=29$，则$△ABC$的面积$S_{△ABC}=$____． **【答案】** $145$ **【解答】** 设$AB$边上的高$CD$长为$10x$，则$AD=24x$，$BD=5x$， <center><img src=" https://cdn.nlark.com/yuque/0/2026/png/21447551/1768993768626-28e48a72-f001-46a0-9a8d-4ef334751593.png " width="30%" /></center> 故$AB=29x=29$，解得$x=1$，故$S_{△ABC}= \dfrac{1}{2}×10×29=145$． **【小结】** 考核三角函数；遇到三角函数，找直角三角形；设元求解.  4、(4分) 定义：（i）$x⊗y=(x-1)⊗(y-1)+x+y$；（ii）$x⊗1=1$．则$(20⊗2)⊗2=$____． **【答案】** $26$ **【解答】** 根据所给的两个递推关系式，有$20⊗2=19⊗1+20+2=1+22=23$，进而，$23⊗2=22⊗1+23+2=1+25+26$． **【小结】** 考核抽象概念，新定义问题. 5、(4分) 已知$x、y$为非零实数，且满足$\left\{ \begin{array}{c} x=y+ \dfrac{1012}{x}\\ y=x+ \dfrac{1013}{y} \end{array} \right. $，则$|x-y|$所有值之和为____． **【答案】** $45$ **【解答】** 将两式相加得，$\dfrac{1012}{x}+ \dfrac{1013}{y}=0$，故设$\dfrac{1012}{x}=- \dfrac{1013}{y}=k$，则$x= \dfrac{1012}{k}$，$y=- \dfrac{1013}{k}$．代回原方程组得$\dfrac{1012}{k}=- \dfrac{1013}{k}+k$，解得$k^2=2025$．故$|x-y|=| \dfrac{1012}{k}+ \dfrac{1013}{k}|= \dfrac{2025}{|k|}=45$． **【小结】** 考核方程；消元法、换元法.  6、(4分) 已知$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2$，则$\dfrac{b+c}{a}+ \dfrac{a+c}{b}+ \dfrac{a+b}{c}+100=$____． **【答案】** $97$ **【解答】** 由$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2$展开得，$ab+bc+ca=0$，再除以$abc$得，$\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c}=0$．而$\dfrac{b+c}{a}+ \dfrac{c+a}{b}+ \dfrac{a+b}{c}= \dfrac{a+b+c}{a}+ \dfrac{b+c+a}{b}+ \dfrac{a+b+c}{c}-3$$=(a+b+c)( \dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c})-3=-3$. 所以$\dfrac{b+c}{a}+ \dfrac{a+c}{b}+ \dfrac{a+b}{c}+100=100-3=97$. **【小结】** 考核代数式化简；三项平方公式$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$.  7、(4分) 直线$y= \dfrac{1}{17} x+a$与$x= \dfrac{1}{17} y+b$交于$(42，43)$，则$a+b=$____． **【答案】** $80$ **【解答】** 将两直线的方程式相加得，$x+y= \dfrac{1}{17}(x+y)+(a+b)$．故$a+b= \dfrac{16}{17}(x+y)= \dfrac{16}{17}(42+43)=80$. **【小结】** 考核直线相交.  8、(4分) 如图，矩形$ABCD$中，$AD=156$，$CD=65$，$BE$平分$∠ABC$，则$E$到$AC$的距离为____． <center><img src=" https://cdn.nlark.com/yuque/0/2026/png/21447551/1768994026527-a5d4c607-5468-4d20-b612-ab35e9e6ca56.png " width="30%" /></center>**【答案】** $25$ **【解答】** 因为$BE$平分$∠ABC$，所以$AE=AB=65$，过点$E$作$EF⊥AC$交$AC$于点$F$，因为$\sin⁡∠CAD= \dfrac{CD}{AC}= \dfrac{EF}{AE}$，所以$\dfrac{65}{\sqrt{65^2+156^2}}= \dfrac{EF}{65}$，解得$EF=25$. **【小结】** 考核几何综合，相似或三角函数；该题中貌似计算量很大，注意到$65$与$156$的最大公约数是$13$，其实$AC$很好求，把$∆ACD$缩小$13$倍，得到$∆AGH$，可得$AG=13$，则$AC=13×13=169$. <center><img src=" https://cdn.nlark.com/yuque/0/2026/png/21447551/1768994155653-cd48455f-a0c0-4023-82ad-c1df26a28add.png " width="30%" /></center> 9、(4分) 如图，在正方形$ABCD$中，$PA=1$，$PB=2$，$PC=3$，则$∠APB$的度数为____． <center><img src=" https://cdn.nlark.com/yuque/0/2026/png/21447551/1768994193740-9bca3733-9390-4c1c-893d-4f96dcfee3a5.png " width="30%" /></center>**【答案】** $135$ **【解答】** 将$△BAP$绕$B$点逆时针旋转$90^∘$得$△BCE$， <center><img src=" https://cdn.nlark.com/yuque/0/2026/png/21447551/1768994240759-b8dfc5f6-b43f-492f-969b-a9f0250456d8.png " width="30%" /></center>易知$△BEP$是等腰直角三角形，进而得$EP=2\sqrt{2}$，再由$EC=1$及$PC=3$可知$∠PEC=90^∘$，故$∠APB=∠CEB=135^∘$． **【小结】** 考核平行四边形；手拉手模型的运用.  10、(4分) 若$\dfrac{4}{15}< \dfrac{n}{6} <\dfrac{23}{7}$，则所有满足条件的整数$n$的和为____． **【答案】** $189$ **【解答】** 若$\dfrac{4}{15}< \dfrac{n}{6} <\dfrac{23}{7}$，则$\dfrac{24}{15}<n< \dfrac{138}{7}$，所以$n$的可能值为$2，3，…，19$，所有满足条件的整数$n$的和为$2+3+4+⋯+19= \dfrac{(2+19)×18}{2}=189$. **【小结】** 考核不等式；等差数列$\{a_n \}$的前$n$项和$S_n= \dfrac{(首项+末项)×项数}{2}$.  11、(6分) 若$x-0.5$不是整数，令$[x]$最接近$x$的整数，如$[2.4]=2$，$[2.6]=3$，则 $[\sqrt{1×2}]+[\sqrt{2×3}]+[\sqrt{3×4}]+⋯+[\sqrt{22×23}]=$____． **【答案】** $253$ **【解答】** 考虑通项式：$\sqrt{n(n+1)}=\sqrt{\left(n+ \dfrac{1}{2}\right)^2- \dfrac{1}{4}} <n+ \dfrac{1}{2}$，且$\sqrt{n(n+1)}>n$，故有$[\sqrt{n(n+1)}]=n$，于是原式等于$1+2+⋯…+22=253$． **【小结】** 考核新定义；这里用到了放缩技巧$\sqrt{n(n+1)}=\sqrt{\left(n+ \dfrac{1}{2}\right)^2- \dfrac{1}{4}} <n+ \dfrac{1}{2}$.  12、(6分) 定义：$f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2+2x+1}+\sqrt[3]{x^2-1}+\sqrt[3]{x^2-2x+1}}$，则$f(1)+f(3)+⋯f(2k-1)+⋯+f(999)=$____． **【答案】** $5$ **【解答】** 由立方差公式：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2 )$，设$a=\sqrt[3]{x+1}$，$b=\sqrt[3]{x-1}$，则由$f(x)= \dfrac{1}{a^2+ab+b^2} = \dfrac{a-b}{a^3-b^3} = \dfrac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1}}{(x+1)-(x-1)} = \dfrac{1}{2}(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1})$．所求代数式等于$\dfrac{1}{2}( \sqrt[3]{2}- \sqrt[3]{0}+ \sqrt[3]{4}- \sqrt[3]{2}+⋯ \sqrt[3]{1000}- \sqrt[3]{998})= \dfrac{1}{2}( \sqrt[3]{1000}- \sqrt[3]{0})=5$. **【小结】** 考核根式化简；找到$f(x)$中的$\sqrt[3]{x+1}$，$\sqrt[3]{x-1}$，利用换元法，使得式子更简洁；用到了裂项求和法，常见的裂项公式$\dfrac{1}{n(n+1)}= \dfrac{1}{n}- \dfrac{1}{n+1}$，$\dfrac{1}{n(n+k)} = \dfrac{1}{k}\left( \dfrac{1}{n}- \dfrac{1}{n+1}\right)$，$\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.  13、(6分) 设$n$为正整数，$n^2+n+51$是完全平方数，则所有$n$可能值之和等于____． **【答案】** $55$ **【解答】** 设$k^2=n^2+n+51$，$k$为整数，为凑成$n$的完全平方数，$4k^2=4n^2+4n+204=(2n+1)^2+203$，可运用平方差公式，得$(2k+2n+1)(2k-2n-1)=203×1=29×7$，于是得到两组方程组：$\left\{ \begin{array}{c} 2k+2n+1=203\\ 2k-2n-1=1 \end{array} \right. $或$\left\{ \begin{array}{c} 2k+2n+1=29\\ 2k-2n-1=7 \end{array} \right.$．两方程相减，解得$n=50$或$n=5$． **【小结】** 考核完全平方公式与平方差公式；设元法. 14、(6分) 已知$x、y、z$均为整数，$x≤y≤z≤7$，$x+y+z=8$，$xy+yz+xz=-13$，则$|xyz|$的值为____． **【答案】** $140$ **【解答】** 依题意可得$8=x+y+z≤3z⇒z≥ \dfrac{8}{3}$，又$z≤7$，所以$\dfrac{8}{3}≤z≤7$，所以$z$的可能值为$3，4，5，6，7$，当$z=3$时，$x+y=5$，$xy=-28$，则$x，y$可以视为一元二次方程$t^2-5t-28=0$的两个实数根，看方程是否存在两个整数根就行，若判别式不是完全平方数就可排除，提高解题速度，该方程判别式$∆=25+112=137$，故排除；当$z=4$时，$x+y=4$，$xy=-29$，排除；当$z=5$时，x+y=3，xy=-28，排除；当$z=6$时，$x+y=2$，$xy=-25$，排除；当$z=7$时，$x+y=1$，$xy=-20$，则$x，y$可以视为一元二次方程$t^2-t-20=0$的两个实数根，方程解得$t=5$或$-4$，即$x=-4$，$y=5$，满足题意；则$|xyz|=|-4×5×7|=140$. **【小结】** 考核代数；含$3$个未知数，只有2条方程，明确不能求出$3$个未知数；加上“$x、y、z$均为整数”，可能想到用到穷举法，但范围有些广，先确定其中某个整数的取值范围，以简化列举.  15、(6分) 如图，在直角$△ABC$中，$∠ACB=90^∘$，$AC=3$，$BC=4$.圆$O_1$与边$AC$和$AB$相切，圆$O_2$与边$BC$和$AB$相切，圆$O_1$与圆$O_2$相外切，设圆心距$O_1 O_2$的最小值为$m$，则$5m-m^2=$____． <center><img src=" https://cdn.nlark.com/yuque/0/2026/png/21447551/1768995042283-f43d5042-fdb2-4084-8472-7526cd617c55.png " width="30%" /></center>**【答案】** $15$ **【解答】** 设圆$O_1$与圆$O_2$的半经为$a$和$b$，$∠O_1 AB=α$，$∠O_2 BA=β$，取$AG=GO_1$，$BH=HO_2$，作出下图， <center><img src=" https://cdn.nlark.com/yuque/0/2026/png/21447551/1768995046284-875335f2-b019-456d-b5bf-4e16de97c192.png " width="30%" /></center>$∵AG=GO_1$，$BH=HO_2$，$∴∠O_1 GE=2α$，$∠O_1 HF=2β$，易得$ΔO_1 GE~ΔBAC$， $∴O_1 G= \dfrac{5}{4} a$，$GE= \dfrac{3}{4} a$，$∴AE=AG+GE=O_1 G+GE=2a$，同理可得$BF=3b$， (由高中的二倍角公式：$\tan⁡2α= \dfrac{4}{3}⇒ \dfrac{2\tanα}{1-\tan^{2}α}= \dfrac{4}{3}⇒\tan⁡α= \dfrac{1}{2}$，$\tan⁡2β= \dfrac{3}{4}⇒ \dfrac{2\tanβ}{1-\tan^{2⁡}β}= \dfrac{3}{4}⇒\tan⁡β= \dfrac{1}{3}$，也可得$AE=2a$，$BF=3b$) 又$EF=O_2 D=\sqrt{O_1 O_2^2-O_1 D^2} =\sqrt{(a+b)^2-(a-b)^2 } =2\sqrt{ab}$， $∴AB=AE+EF+BF=2a+3b+2\sqrt{ab}$， $∴2a+3b+2\sqrt{ab}=5$， (现在问题变为已知$2a+3b+2\sqrt{ab}=5$，求$a+b$的最小值$m$) **方法1 ** 令所求的圆心距$t=a+b$，则$2t+b+2\sqrt{(t-b)b} =5$，所以$2\sqrt{(t-b)b} =5-(2t+b)$，两边平方得，$4tb-4b^2=4t2+b^2+25+4tb-20t-10b$．变形得$(2t-5)^2+5(b-1)^2=5$．当$(b-1)^2$取最小值$0$，即$b=1$时，$t$可取到最小值$m$，因此$d$的最小值$m$满足：$(2m-5)^2=5$，即$4m^2-20m=-20⇒5m-m^2=5$． **方法2** 由$(\sqrt{xa} -\sqrt{yb} )^2≥0$，得$xa+yb≥2\sqrt{xyab}$，假设存在$x>0$，$y>0$使得$2\sqrt{ab}≤xa+yb$(当$xa=yb$时取到等号)，此时$xy=1$，则$2a+3b+2\sqrt{ab}=5⟺5≤2a+3b+xa+yb=(2+x)a+(3+y)b$，若$2+x=3+y$，则$5≤(2+x)(a+b)⟺a+b≥ \dfrac{5}{2+x}$，由$\left\{ \begin{array}{c} xy=1\\ 2+x=3+y \end{array} \right. $，解得$\left\{ \begin{array}{c} x= \dfrac{\sqrt{5} +1}{2} \\ y= \dfrac{\sqrt{5} -1}{2} \end{array} \right. $，所以$a+b≥ \dfrac{5}{2+x} = \dfrac{5}{2+ \dfrac{\sqrt{5} +1}{2}} = \dfrac{5-\sqrt{5} }{2}$，即$m= \dfrac{5-\sqrt{5} }{2}$，所以$5m-m^2=m(5-m)= \dfrac{5-\sqrt{5} }{2} ×\left(5- \dfrac{5-\sqrt{5} }{2} \right)= \dfrac{5-\sqrt{5} }{2} ×\dfrac{5+\sqrt{5} }{2} = \dfrac{20}{4} =5$． 此时为了严谨，可检验下:不等式是否取到等号与这方法下$a$，$b$的值是否在题中存在(其实$b$最大能取到$ΔABC$内切圆的半径$\dfrac{3}{2}$)，最终也是当$b=1$，$a= \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$时取到最小值. **【小结】** 考核综合分析；难度较大，要充分分析已知条件，尽量把问题进行等价转化. 方法2里有高中基本不等式的影子，若$a>0$，$b>0$，则$a+b≥2\sqrt{ab}$.  \]

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