Codeforces 1716D Chip Move 题解
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题目大意
洛谷题面
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给定两个数 \(n,k\)，问从 \(0\) 开始，第 \(i\) 步只能走 \((k+i-1)\) 的正倍数（即不能走 \(0\)），问分别走到 \(x\in[1,n]\) 的方案数，对 \(998244353\) 取模。
思路
第一步：将原问题转化成背包
看到第 \(i\) 步只能走 \((k + i - 1)\) 的整倍数，不难发现和完全背包很类似。
可以把第 \(i\) 步看做只能走 \((k + i - 1)\)，但是能走无限次。
这样就能把这个问题转化成一个完全背包问题：有 \(n\) 个物品，第 \(i\) 个物品重量为 \((k + i - 1)\)，每个物品最少取一个（因为题目中说不能走 0）问你总重量为 \(x\in[1,n]\) 的取法数。
第二步：设计状态
但这个问题不是裸的完全背包板子，因为原问题是求最大收益，现在的问题是求方案数。
所以现在需要用完全背包的状态修改一下。
完全背包的状态：设 \(dp_{i,j}\) 为到第 \(i\) 个物品，总重量为 \(j\) 时的最大收益。
现在只要修改一点，把最大收益改成方案数就行。
现在的状态：设 \(dp_{i,j}\) 为到第 \(i\) 个物品，总重量为 \(j\) 时的方案数。
第三步：转移方程
原来的完全背包转移方程是 \(dp_{i,j} = \max(dp_{i-1,j}, dp_{i,j-w_i} + v_i)\)。
现在需要在原来的基础上修改几点：
- 把原方程转换成统计方案的形式
- 把原来的 \(dp_{i-1,j}\) 删去，不能转移，每个物品最少取一个。
- 因为没有了 \(dp_{i-1,j}\)，所以统计 \(dp_{i,j}\) 时需要加上 \(dp_{i-1,j-w_i}\)。
- 需要把方程中的 \(w_i\) 替换成 \((k+ i - 1)\)。
现在的转移方程就变成了 \(dp_{i,j} = dp_{i,j-(k+i-1)} + dp_{i-1,j-(k+i-1)}\)。
初始状态与答案
初始时没有开始选，即选到第 0 个物品，总重量为 0，但是有一种方法（什么也不选）。
初始状态是 \(dp_{0,0} = 1\)。
由于在原题中走几步到达终点都算答案，所以统计最终答案时要加上每一个 \(i\) 对应的 dp 值。
答案为 \(ans_x = \sum_{i=1}^n{f_{i,x}}\)。
代码实现
实现细节
建议看完此部分后再看代码。
细节 1：时间优化
按照这种方法，时间复杂度为 \(O(n^2)\)，无法通过此题，考虑优化。
第二维总重量无法优化，只能优化第一位物品个数。
因为每种物品最少取一个，所以按照取一个计算，这样能让总重量最少。
要让总重量 \(\le n\)，也就是让 \(\sum_{i=1}^x{(k + i - 1)}\le n\)。
解得 \(x \le \sqrt{2n}\)，也就是说最多取 \(\sqrt{2n}\) 个物品就能取完 \(n\) 的容量，因此 \(i\) 只用枚举到 \(\sqrt{2n}\) 就行。
优化后的时间复杂度为 \(O(n \sqrt{n})\)。
细节 2：滚动数组优化
如果直接用上面的状态，那空间复杂度为 \(O(n \sqrt{n})\)，无法通过此题（开 int 数组需要用 360MB 的空间）。
考虑将第一维滚动掉。
但是这里不能直接压掉一维，需要在第一维再开一个 0/1 表示这轮和上轮的 dp 值。
所以需要再开一个变量 now，表示当前的 dp 值存在 \(dp_{now,i}\) 里。那上一轮的 dp 值就存在 \(dp_{now \oplus 1,i}\) 里。
每次转移的时候需要让 \(now \gets now \oplus 1\)，也就是让当前的 dp 值变成下一轮的上一轮的 dp 值。
转移方程也要进行一些改动，变成 \(dp_{now,j} = dp_{now,j-(k+i-1)} + dp_{now \oplus 1,j-(k+i-1)}\)。
优化后的空间复杂度为 \(O(n)\)。
细节 3：统计答案
由于滚动数组无法记录所有状态，所以不能在最后统计最终答案，而是要在 dp 过程中累加答案。
也就是在 dp 的过程中将 \(ans_j\) 累加上 \(dp_{now,j}\)。
一些坑点
- 记得取模。
- \(n,k\) 的范围是 \(1 \le n,k \le 2\cdot10^5\)，不是 \(1 \le n,k \le 10^5\)。
- 记得要及时清空数组（不然会 WA）。
- 其他的注意事项可以看代码注释
Code（只展示关键代码）
f[0][0] = 1;//初始值
int now = 0;
for (int i = 1; i * i <= n * 2; i++){//i枚举到sqrt(2*n)now ^= 1;for (int j = i * k + i * (i - 1) / 2; j <= n; j++)//取前i个物品，最少总重量为ik+i*(i-1)/2（读者自行推导），所以j从ik+i*(i-1)/2开始(f[now][j] += f[now][j - (k + i - 1)] + f[now ^ 1][j - (k + i - 1)]) %= mod;//转移memset(f[now ^ 1], 0, sizeof(f[now ^ 1]));//注意：要清空数组for (int j = 1; j <= n; j++)//累加答案(ans[j] += f[now][j]) %= mod;
}