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前情概要

以前已经知道这个函数的图像做法，\(f\left(x\right)=\left\{x\le0:2^{-x}-1,f\left(x-1\right)\right\}\)，部分周期函数的图像 | Desmos，本身就很惊叹 DESMOS 这个软件的强大。

递推数列图像

这个高考不考，高考备考者可以避开，我之所以记录是为了备忘。

昨天在网上看到一个递推数列的通项公式，这是一个比较著名的数学问题，属于错位排列问题，可以转化为以下的问题：

【来自知乎】\(a_1=1\)，\(a_2=0\)，\(a_3=0\)，\(a_4=2\)，当 \(n\)\(\geq\)\(3\) 时，\(a_{n}\)\(=\)\((n+1)a_{n-1}\)\(-\)\((n-2)a_{n-2}\)\(-\)\((n-5)a_{n-3}\)\(+\)\((n-3)a_{n-4}\)，求 \(a_{20}\) 的值；

提问题者，不是不知道这个公式，他想问，用什么东西能算出来这个结果？我看到这个递推数列后第一反应就是，能用 DESMOS 来计算，结果一旦输入 \(a_{n}=(n+1)a_{n-1}\) 到这个程度，就出现报错了，没法进行下去，停了一段时间，忽然想到 数列是特殊的函数，这个软件已经可以画递归函数的图像，那转化为函数一定可以的，测试后，果然可以计算，故记录一下。

简单来说，就是将上述的已知问题都转化为函数，即 \(f(1)=1\)， \(f(2)=0\)， \(f(3)=0\)， \(f(4)=2\)，\(f({n})\)\(=\)\((n+1)f({n-1})\)\(-\)\((n-2)f({n-2})\)\(-\)\((n-5)f({n-3})\)\(+\)\((n-3)f({n-4})\)，求 \(f({20})\) 的值；结果一下子就出来了，此时，我的心头只有感慨，只有膜拜，这个软件简直太强大了， 我自己用了 10 多年了，几乎没有遗憾。估计过不了多长时间，人家也可以解决这个问题。要是等不及了，可以将这个问题直接抛给美国人，第二天就有回答，不信你试试。

上图的具体链接，相邻编号不相邻排列的计算 | Desmos，点上面的问号，再点击联系我们，就可以给美国人留 EMAIL 了。