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Java版LeetCode热题100之搜索二维矩阵：从基础到进阶的全面解析

本文将带你深入剖析 LeetCode 第74题「搜索二维矩阵」，通过多种解法、复杂度分析、面试技巧与实际应用，帮助你彻底掌握这道经典算法题。

一、原题回顾

题目描述（LeetCode 74. 搜索二维矩阵）

给你一个满足下述两条属性的m x n整数矩阵：

1. 每行中的整数从左到右按非严格递增顺序排列（即升序，允许相等）。
2. 每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。

给你一个整数target，如果target在矩阵中，返回true；否则，返回false。

示例

示例 1：

输入：matrix = [[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,60]], target = 3 输出：true

示例 2：

输入：matrix = [[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,60]], target = 13 输出：false

约束条件

• m == matrix.length
• n == matrix[i].length
• 1 <= m, n <= 100
• -10^4 <= matrix[i][j], target <= 10^4

二、原题分析

这道题的关键在于理解矩阵的两个结构性质：

1. 行内有序：每一行都是升序排列；
2. 行间有序：第i行的首元素 > 第i-1行的尾元素。

这意味着整个矩阵可以被看作是一个全局升序的一维数组。例如：

[[1, 3, 5, 7], [10,11,16,20], [23,30,34,60]]

可视为一维数组：[1,3,5,7,10,11,16,20,23,30,34,60]，完全升序。

因此，我们可以利用**二分查找（Binary Search）**这一高效算法来解决问题。

但如何在二维结构上进行二分？这是本题的核心挑战。

三、答案构思

思路一：两次二分查找（Two Binary Searches）

• 第一步：在第一列中二分查找，确定target可能所在的行。
  • 因为每行首元素 > 上一行末元素 ⇒ 第一列也是升序。
  • 找到最后一个 ≤ target 的行首元素所在的行。
• 第二步：在该行中进行标准二分查找，判断target是否存在。

✅ 优点：逻辑清晰，易于理解，适用于“行长度不一致”的变种题（虽然本题行长度一致）。

思路二：一次二分查找（Flatten Matrix）

• 将整个m x n矩阵虚拟展开为长度为m*n的一维升序数组。
• 对下标[0, m*n - 1]进行二分。
• 利用数学映射：
  • 一维下标idx→ 二维坐标：row = idx / n,col = idx % n
• 直接比较matrix[row][col]与target。

✅ 优点：代码简洁，效率高，充分利用了全局有序性。

两种方法时间复杂度相同，但实现思路不同，各有适用场景。

四、完整答案（Java 实现）

方法一：两次二分查找

classSolution{publicbooleansearchMatrix(int[][]matrix,inttarget){// Step 1: Find the candidate row using binary search on first columnintrowIndex=binarySearchFirstColumn(matrix,target);if(rowIndex<0){returnfalse;// No valid row found}// Step 2: Search within that rowreturnbinarySearchRow(matrix[rowIndex],target);}/** * 在矩阵的第一列中查找最后一个 <= target 的行索引 * 使用「右边界」二分模板（找 <= target 的最大值） */privateintbinarySearchFirstColumn(int[][]matrix,inttarget){intlow=-1;// 哨兵，表示无有效行inthigh=matrix.length-1;while(low<high){// 防止死循环：向上取整intmid=(high-low+1)/2+low;if(matrix[mid][0]<=target){low=mid;// 当前 mid 可能是答案，保留}else{high=mid-1;// 排除 mid}}returnlow;// 返回 [-1, m-1]}/** * 在指定行中进行标准二分查找 */privatebooleanbinarySearchRow(int[]row,inttarget){intlow=0,high=row.length-1;while(low<=high){intmid=(high-low)/2+low;if(row[mid]==target){returntrue;}elseif(row[mid]>target){high=mid-1;}else{low=mid+1;}}returnfalse;}}

方法二：一次二分查找（推荐）

classSolution{publicbooleansearchMatrix(int[][]matrix,inttarget){intm=matrix.length;intn=matrix[0].length;intlow=0;inthigh=m*n-1;while(low<=high){intmid=(high-low)/2+low;// 将一维索引映射回二维坐标introw=mid/n;intcol=mid%n;intvalue=matrix[row][col];if(value==target){returntrue;}elseif(value<target){low=mid+1;}else{high=mid-1;}}returnfalse;}}

💡 提示：方法二更简洁，且在 LeetCode 上通常运行更快（常数因子更小）。

五、代码分析

方法一详解

• binarySearchFirstColumn：

  • 使用的是寻找右边界的二分模板。
  • 初始化low = -1是为了处理target < matrix[0][0]的情况（此时应返回false）。
  • mid = (high - low + 1) / 2 + low是向上取整，避免low = mid导致死循环。
  • 最终low是满足matrix[low][0] <= target的最大行号。

• binarySearchRow：

  • 标准二分查找，无特殊处理。

方法二详解

• 关键在于坐标映射：
  • 一维下标idx ∈ [0, m*n-1]
  • 行号：idx / n（整除）
  • 列号：idx % n（取模）
• 例如m=3, n=4，则：
  • idx=5→row=5/4=1,col=5%4=1→matrix[1][1]
• 这种映射在内存连续存储（如 C/C++）中天然成立，在 Java 中虽为引用数组，但逻辑上完全等价。

六、时间复杂度和空间复杂度分析

📌 注意：log m + log n = log(mn)，所以两者渐近复杂度相同。

但由于方法二只有一次循环，常数更小，实际运行更快。

七、问题解答（常见疑问）

Q1：为什么方法一要找“最后一个 ≤ target 的行”？

因为矩阵性质保证：若target存在，它一定在第一个首元素 > target 的行的上一行中。

例如target=13，第一列为[1,10,23]，10 ≤ 13 < 23，所以应在第1行（索引1）查找。

Q2：方法二是否要求每行长度相同？

是的！方法二依赖n = matrix[0].length作为固定列数进行坐标映射。

如果各行长度不同（如锯齿数组），则无法用idx / n计算行号。

⚠️ 但本题明确n == matrix[i].length，所以安全。

Q3：能否用线性搜索？

可以，但效率低：

• 时间复杂度O(m + n)（从右上角开始走）或O(mn)（暴力遍历）。
• 不符合“高效查找”的要求，面试中会被扣分。

八、优化思路

优化1：提前终止

在方法一中，若target < matrix[0][0]或target > matrix[m-1][n-1]，可直接返回false。

if(target<matrix[0][0]||target>matrix[m-1][n-1]){returnfalse;}

但这在二分中已隐含处理，收益有限。

优化2：使用库函数（不推荐面试）

Java 的Arrays.binarySearch()可用于行内查找，但第一列仍需自定义二分。

intpos=Arrays.binarySearch(matrix[row],target);returnpos>=0;

但面试官更希望看到手写二分能力。

优化3：位运算加速（微优化）

mid = (low + high) >>> 1可防止溢出，但本题m,n ≤ 100，无需考虑。

九、数据结构与算法基础知识点回顾

1. 二分查找（Binary Search）

• 前提：数组必须有序。
• 核心思想：每次排除一半搜索空间。
• 模板：
  • 查找目标值：while (low <= high)
  • 查找边界：while (low < high)+ 向上/向下取整

2. 二维数组的线性化

• 将matrix[i][j]映射为一维下标：index = i * n + j
• 反向映射：i = index / n,j = index % n
• 应用于图像处理、矩阵压缩、内存布局等

3. 单调性与有序结构

• 本题的“全局有序”是解题关键。
• 类似结构：杨氏矩阵（Young Tableau），但本题更强（完全有序）。

4. 时间复杂度对数级别

• O(log N)意味着每步问题规模减半。
• 100万数据只需约20次比较！

十、面试官提问环节（模拟对话）

面试官：你用了两次二分，能不能只用一次？

✅回答：可以。因为整个矩阵是全局升序的，我们可以将其视为一维数组，通过idx → (row, col)映射，在[0, m*n-1]上做一次二分即可。

面试官：如果矩阵不是完全有序，只是每行每列分别有序（如左上到右下递增），还能用二分吗？

✅回答：不能直接用全局二分。但可以从右上角开始：

• 若matrix[i][j] > target，则排除当前列（j--）
• 若matrix[i][j] < target，则排除当前行（i++）
• 时间复杂度O(m + n)

面试官：你的方法二在什么情况下会失效？

✅回答：当矩阵的行长度不一致时（如matrix = [[1,2], [3]]），无法用固定n进行坐标映射。此时方法一更鲁棒。

面试官：空间复杂度真的是 O(1) 吗？

✅回答：是的。我们只使用了几个整型变量（low,high,mid等），没有使用额外数组或递归栈，因此空间复杂度为常数。

十一、这道算法题在实际开发中的应用

1. 数据库存储引擎

• B+树、LSM树等索引结构常将数据按页（Page）组织，每页内部有序，页间也有序。
• 查找某条记录时，先定位页（类似找行），再在页内二分查找（类似找列）。

2. 分页缓存系统

• 缓存按时间或ID分段存储，每段有序。
• 快速判断某ID是否在缓存中，可用类似“两次二分”策略。

3. 图像/视频处理

• 像素矩阵可视为二维数组，某些压缩算法依赖局部有序性。
• 快速查找特定像素值的位置。

4. 游戏开发中的地图系统

• 大型地图分块加载，每块内坐标有序。
• 快速判断玩家是否进入某区域。

5. 日志分析

• 日志按时间分文件，每个文件内按时间戳排序。
• 查找某时间点的日志：先二分文件，再二分行。

十二、相关题目推荐

🔔 建议：先掌握本题，再挑战 240 题（更难，无全局有序性）。

十三、总结与延伸

核心收获

1. 结构决定算法：矩阵的“全局有序”性质是使用二分查找的前提。
2. 二维转一维：通过数学映射，将复杂结构简化为熟悉模型。
3. 二分查找的灵活性：不仅可用于一维数组，还可用于“虚拟有序序列”。
4. 鲁棒性 vs 简洁性：方法一更通用，方法二更高效，需根据场景选择。

延伸思考

• 如果矩阵非常大（无法全加载到内存）？
  • 可结合外部排序思想，分块读取 + 二分定位块。
• 如果允许重复元素？
  • 本题已允许（非严格递增），不影响解法。
• 能否用分治或递归？
  • 可以，但不如二分高效，且空间复杂度可能上升。

最佳实践建议

• 优先考虑方法二：代码短、效率高、易维护。
• 掌握二分模板：尤其是边界处理（low < highvslow <= high）。
• 面试时先说思路：强调“全局有序 → 虚拟一维数组 → 二分”。

结语

“搜索二维矩阵”看似简单，却蕴含了数据结构特性识别、算法模型转换、边界处理等多重考察点。掌握它，不仅能拿下 LeetCode 热题，更能培养你在面对复杂数据结构时的抽象与简化能力。

正如计算机科学家 Edsger Dijkstra 所言：“简单是可靠的先决条件。” 通过将二维问题降维到一维，我们不仅找到了最优解，也体会到了算法之美。

✨练习建议：手写两遍代码，确保无 bug；尝试修改条件（如行长度不等），看解法是否仍适用。