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题目：多项式回归建模练习

1. 训练资料生成

给定函数：y = sin(x)
取样：在给定的 x 值（x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3）计算对应的 y 值。
杂讯：对所计算的 y 值，加上高斯杂讯（mean=0, stdev=0.25）。

2. 多项式回归之实作

请使用 NumPy 和 scikit-learn 等函式库，从所计算的 x 和 y 值对多项式之系数进行回归。

要求写成一个独立函数：

• 输入：x、y、以及所要回归的多项式的 degree
• 输出：回归得到的所有多项式系数 ak（ak为多项式中 x^k 项的系数，k = 0, 1, …, degree）

3. 模型评估

将产生的训练资料输入到函数，得到多项式系数，并用这些系数对资料中的 x 值计算对应的 y’值：

y i ′ = ∑ k = 0 d a k x i k y_i' = \sum_{k=0}^{d} a_k x_i^kyi′​=k=0∑d​ak​xik​

其中 i 为资料的 index，d 为多项式的 degree，N 为资料个数。

将 y 和 y’比较，计算均方误差（mean-squared error; MSE）：

M S E = 1 N ∑ i = 1 N ( y i − y i ′ ) 2 MSE = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y_i - y_i')^2MSE=N1​i=1∑N​(yi​−yi′​)2

针对回归多项式的 degree 为 1, 2, 4, 6 的情形，重复以上的评估步骤。结果以文字列出。

4. 可视化

使用 Matplotlib 等函式库，对上述步骤产生的回归多项式，以及输入的数据点，进行绘图。将所有不同 degree 的结果画在同一张图。

为了绘出平滑的多项式曲线，你需要取一组密集的 x 值（例如每隔 0.01 取一个 x 值），用多项式系数计算对应的 y’值，再用来绘出曲线。

答案与详细解释

完整代码实现

importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltfromsklearn.preprocessingimportPolynomialFeaturesfromsklearn.linear_modelimportLinearRegressionfromsklearn.metricsimportmean_squared_error# 设置随机种子以确保结果可重复np.random.seed(42)# 1. 训练资料生成defgenerate_training_data():x=np.array([-3,-2,-1,0,1,2,3])y_true=np.sin(x)# 真实值noise=np.random.normal(0,0.25,len(x))# 高斯杂讯y_noisy=y_true+noise# 加入杂讯后的y值returnx,y_true,y_noisy# 2. 多项式回归函数defpolynomial_regression(x,y,degree):""" 多项式回归函数 参数: x: 输入特征值，形状为 (n_samples,) y: 目标值，形状为 (n_samples,) degree: 多项式阶数 返回: coefficients: 多项式系数 [a0, a1, ..., ad] """# 重塑x为2D数组x_reshaped=x.reshape(-1,1)# 生成多项式特征poly=PolynomialFeatures(degree=degree)X_poly=poly.fit_transform(x_reshaped)# 训练线性回归模型model=LinearRegression()model.fit(X_poly,y)# 获取系数coefficients=model.coef_ coefficients[0]=model.intercept_# 截距项returncoefficients# 3. 模型评估defevaluate_polynomial_model(x,y_true,coefficients):""" 评估多项式模型 参数: x: 输入特征值 y_true: 真实目标值 coefficients: 多项式系数 返回: y_pred: 预测值 mse: 均方误差 """degree=len(coefficients)-1y_pred=np.zeros_like(y_true)# 计算预测值fori,xiinenumerate(x):forkinrange(degree+1):y_pred[i]+=coefficients[k]*(xi**k)# 计算均方误差mse=mean_squared_error(y_true,y_pred)returny_pred,mse# 4. 可视化函数defvisualize_results(x_train,y_train,y_true,all_coefficients,degrees):""" 可视化多项式回归结果 参数: x_train: 训练数据x值 y_train: 训练数据y值（含杂讯） y_true: 真实y值（无杂讯） all_coefficients: 所有degree的系数列表 degrees: 多项式的degree列表 """plt.figure(figsize=(12,8))# 绘制训练数据点plt.scatter(x_train,y_train,color='black',s=100,label='训练数据（含杂讯）',zorder=5)# 绘制真实函数曲线x_smooth=np.arange(-3.5,3.5,0.01)y_smooth_true=np.sin(x_smooth)plt.plot(x_smooth,y_smooth_true,'k-',linewidth=3,label='真实函数: sin(x)',alpha=0.7)# 为每个degree绘制多项式曲线colors=['red','blue','green','orange']line_styles=['--','-.',':','-']foridx,(degree,coefficients)inenumerate(zip(degrees,all_coefficients)):# 计算平滑曲线上的预测值y_smooth_pred=np.zeros_like(x_smooth)forkinrange(len(coefficients)):y_smooth_pred+=coefficients[k]*(x_smooth**k)# 绘制多项式曲线plt.plot(x_smooth,y_smooth_pred,color=colors[idx],linestyle=line_styles[idx],linewidth=2,label=f'Degree{degree}多项式')plt.xlabel('x',fontsize=14)plt.ylabel('y',fontsize=14)plt.title('多项式回归拟合结果对比',fontsize=16)plt.legend(fontsize=12,loc='best')plt.grid(True,alpha=0.3)plt.xlim(-3.5,3.5)plt.ylim(-1.5,1.5)plt.show()# 主程序defmain():# 1. 生成训练资料x_train,y_true,y_train=generate_training_data()print("训练数据生成完成！")print(f"x值:{x_train}")print(f"真实y值 (sin(x)):{y_true}")print(f"加入杂讯后的y值:{y_train}")print()# 2. & 3. 对不同的degree进行多项式回归和评估degrees=[1,2,4,6]all_coefficients=[]mse_results=[]print("="*60)print("多项式回归结果")print("="*60)fordegreeindegrees:print(f"\nDegree{degree}多项式回归:")# 执行多项式回归coefficients=polynomial_regression(x_train,y_train,degree)all_coefficients.append(coefficients)# 评估模型y_pred,mse=evaluate_polynomial_model(x_train,y_train,coefficients)mse_results.append(mse)# 显示结果print(f"多项式系数:{coefficients}")print(f"多项式方程: y = ",end="")forkinrange(len(coefficients)):ifk==0:print(f"{coefficients[k]:.4f}",end="")else:print(f" +{coefficients[k]:.4f}x^{k}",end="")print()print(f"训练集上的MSE:{mse:.6f}")print(f"预测值:{y_pred}")print("\n"+"="*60)print("MSE结果汇总")print("="*60)fordegree,mseinzip(degrees,mse_results):print(f"Degree{degree}: MSE ={mse:.6f}")# 4. 可视化visualize_results(x_train,y_train,y_true,all_coefficients,degrees)if__name__=="__main__":main()

模块导入

pipinstallscikit-learn

运行结果

详细解释

1. 训练资料生成

我们首先生成训练数据：

• x值：[-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3]
• 真实y值：sin(x)
• 加入高斯杂讯（mean=0, stdev=0.25）

这是机器学习中的常见做法，模拟真实世界数据往往包含测量误差或随机扰动的情况。

2. 多项式回归函数

多项式回归的基本思想是将特征转换为多项式特征，然后使用线性回归进行拟合。对于单变量x，d阶多项式回归模型为：

y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a d x d y = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_dx^dy=a0​+a1​x+a2​x2+...+ad​xd

在我们的实现中：

• 使用PolynomialFeatures将x转换为多项式特征矩阵
• 使用LinearRegression拟合线性模型
• 系数按升幂顺序排列：a₀, a₁, …, a_d

3. 模型评估

我们使用均方误差（MSE）作为评估指标：

M S E = 1 N ∑ i = 1 N ( y i − y i ′ ) 2 MSE = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y_i - y_i')^2MSE=N1​i=1∑N​(yi​−yi′​)2

MSE越小表示模型拟合越好。由于我们使用相同的训练数据进行训练和评估，这里计算的是训练误差。

4. 可视化

可视化帮助我们直观理解不同阶数多项式的拟合效果：

• 黑色点：原始训练数据（含杂讯）
• 黑色实线：真实函数sin(x)
• 彩色曲线：不同阶数多项式的拟合结果

运行结果分析

根据随机种子42的运行结果，我们会看到：

1. Degree 1（线性回归）：
   • 只能拟合直线，对sin(x)这样弯曲的函数拟合效果较差
   • MSE通常较大
2. Degree 2（二次多项式）：
   • 可以拟合抛物线形状，比线性回归有所改善
   • 但对sin(x)的周期性变化仍无法很好捕捉
3. Degree 4（四次多项式）：
   • 有足够的灵活性来近似sin(x)在给定区间的形状
   • MSE显著降低
4. Degree 6（六次多项式）：
   • 理论上可以完美拟合7个数据点（6阶多项式有7个系数）
   • 可能出现过拟合现象：在训练数据上MSE非常小，但对新数据的泛化能力可能较差

重要概念解析

偏差-方差权衡（Bias-Variance Tradeoff）

• 低阶多项式（如degree=1,2）：高偏差，低方差，可能欠拟合
• 高阶多项式（如degree=6）：低偏差，高方差，可能过拟合
• 适度阶数（如degree=4）：在偏差和方差之间取得平衡

过拟合（Overfitting）

当模型过于复杂（如degree=6）时，它会完美拟合训练数据，包括其中的噪声，导致对新数据的预测性能下降。

模型复杂度与泛化能力

模型复杂度（多项式阶数）需要根据具体问题和数据量来选择。在实践中，我们通常使用交叉验证来选择最佳的多项式阶数。

扩展思考

1. 如果增加更多训练数据点，不同阶数多项式的表现会如何变化？
2. 如何确定最佳的多项式阶数？
3. 如果真实函数不是sin(x)而是更复杂的函数，多项式回归是否仍然有效？
4. 如何避免高阶多项式的数值不稳定问题？

该练习展示了多项式回归的基本原理和应用，是理解模型复杂度、过拟合/欠拟合等机器学习核心概念的绝佳示例。

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