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本文将为大家美赛前最后一次场数学建模竞赛的赛题浅析，以便帮助大家在竞赛开赛第一天完成初步选题工作尽快开展后续工作。

下图为一图流，

初步预估
选题人数A:B=1:3
赛题难度A:B=3:1

2026 MCM Problem A - How to Defend Against a Direct Free-Kick?

该问题是基于2018年世界杯葡萄牙对西班牙比赛中，克里斯蒂亚诺·罗纳尔多（Cristiano Ronaldo）在第87分钟的一记直接任意球进球。

· 数据收集与轨迹重建：从附录视频链接提取帧数据，使用图像处理估算球的位置（x,y,z坐标，以球场底线为x轴、边线为y轴、地面为z=0）。拟合地面投影曲线（e.g., 多项式或样条曲线），通过时间-位置关系估算初始速度（v0）和角度。

· 轨迹类型分类：建立三种踢法的动力学模型，模拟轨迹并与重建数据比较，判断类型（e.g., 通过马格努斯效应或无旋特征）。

· 防守策略优化：基于模型模拟不同人墙排列和守门员位置，优化拦截概率，使用蒙特卡洛模拟评估效果。

· 验证与扩展：用文献数据验证模型，进行敏感性分析（e.g., 风阻变化），输出报告结构。 思路强调从物理原理到战术应用，结合计算工具（如MATLAB或Python）实现模拟。

第一问：轨迹重建与初速度估算

核心任务：从视频中提取数据，重建三维轨迹，拟合投影曲线，反推初速度。

第一问：轨迹重建与初速度估算

核心任务：从视频中提取数据，重建三维轨迹，拟合投影曲线，反推初速度。

l坐标系建立

以球门线中点为原点，球门线方向为x轴，球场长度方向为y轴，垂直地面为z轴

标准球场尺寸已给出（105m×68m，球门7.32m×2.44m），可作为标定参考

l视频数据提取方法

透视变换标定：利用球场上的已知几何特征（罚球点11m、禁区线16.5m、球门尺寸等）建立像素坐标与实际坐标的映射关系

逐帧追踪：从视频中按帧提取足球位置（可用OpenCV等工具辅助说明，但手动标注也可接受）

时间戳确定：视频帧率（通常25fps或30fps）决定时间间隔

l轨迹拟合

三维轨迹：

水平投影（xy平面）：考虑Magnus力导致的侧向弯曲，可用二次或三次多项式拟合

垂直投影（yz平面）：考虑重力和阻力，呈现非对称抛物线

第二问：不同任意球类型的动力学模型

核心任务：建立香蕉球、电梯球、落叶球的数学模型，判断C罗这球属于哪种。

第三问：人墙与守门员防守策略

核心任务：针对高水平任意球，优化防守配置。

优化模型，如线性规划（LP）或遗传算法（GA）优化人墙位置（变量：人数、间距、高度）；蒙特卡洛模拟评估概率（随机初速，计算拦截率）；游戏论模型分析进攻-防守博弈。

2026 ICM Problem B - Who Will Win the Global Competition in Artificial Intelligence?

背景概述AI竞争受多因素影响，包括基础设施、人才储备、数据资源等。这些因素相互作用，形成国家AI发展的动态系统。问题要求从因素识别到评价模型，再到预测和优化，逐步深化。

子问题分解：

Q1：识别、量化因素，探索相关性和交互作用。

Q2：构建评价模型，评估10国（美国、中国、英国、德国、韩国、日本、法国、加拿大、阿联酋、印度）2025年AI竞争力排名。

Q3：基于2016-2025趋势，预测2026-2035排名变化。

Q4：中国额外1万亿人民币资金分配建议，目标最大化2035年综合竞争力。

B题数据集需自行收集，以下为的初步收集的指标大纲，大家可以在该数据大纲上进一步增加需要收集的数据

相关假设

假设因素间相关性线性或可通过网络模型描述，无极端非线性（如突发事件，除非敏感性分析中考虑）。

数据假设：历史数据（2016-2025）可靠，可从公开来源获取；未来趋势基于线性外推或ARIMA模型。

经济假设：1万亿人民币资金可灵活分配到因素中，边际效应递减（e.g., 投资人才的回报率随规模降低）。

简化假设：忽略地缘政治因素（如贸易战），聚焦量化指标；所有国家数据标准化处理。

第一问：AI发展能力因素识别与量化

识别能够有效评估AI发展能力的关键因素，对这些因素进行量化处理，探索因素之间的内在关联性，分析它们如何相互作用、共同促进或制约AI发展。

求解思路

u指标体系构建：从文献调研和逻辑分析出发，建立多层次指标体系，涵盖基础设施、人才储备、研发创新、产业应用、政策生态等维度。

u数据收集与量化：从Stanford AI Index、OECD数据库、各国统计年鉴等来源获取各指标数据，对定性指标进行量化处理（如政策完善度打分）。

u相关性分析：计算指标间的相关系数矩阵，识别高度相关的指标组，为后续降维或权重调整提供依据。

u因果关系挖掘：运用因果推断方法分析指标间的影响路径，如"人才→论文→专利→产业化"的传导链条。

第二问：评估模型构建与2025年排名

基于第一问量化的因素及其关联关系，构建科学合理的AI发展能力评估模型，对美国、中国、英国、德国、韩国、日本、法国、加拿大、阿联酋、印度十个国家进行评估，给出2025年AI竞争力排名。

求解思路

u数据预处理：对各国各指标数据进行标准化处理，消除量纲影响，处理缺失值和异常值

u权重确定：采用主客观组合赋权法，主观权重由AHP确定，客观权重由熵权法或CRITIC法确定，两者加权平均得到综合权重。

u综合评分：选择适当的综合评价方法计算各国得分，形成排名。

u稳健性检验：通过敏感性分析检验排名对权重变化、方法选择的稳定性。

第三问：2026-2035年排名预测

聚焦于十个国家，基于其2016-2025年的发展战略、资源投入趋势和技术发展轨迹，结合第二问构建的评估模型，预测2026-2035年间这十个国家AI竞争力排名的变化。

求解思路

u历史趋势分析：分析2016-2025年各国各指标的时间序列变化趋势，识别增长模式（线性、指数、S型等）

u指标外推预测：对各指标分别建立时间序列预测模型，预测2026-2035年各指标值。

u情景设定：设置基准、乐观、悲观三种情景，反映不同政策环境和外部冲击的影响。

u动态评估：将预测的指标值代入第二问的评估模型，计算各年度得分，形成排名演化轨迹。

第四问：中国1万亿投资优化配置

假设从2026年起中国额外投入1万亿元专项资金提升AI竞争力，核心目标是到2035年实现"中国AI综合竞争力最大化"。需要给出科学的资金分配建议。

求解思路

u投资领域划分：将可投资方向分类，如算力基础设施、人才培养与引进、基础研究、产业应用、数据生态建设等。

u投资-产出函数建模：建立各领域投资额与对应指标提升之间的函数关系，考虑边际递减效应和时滞效应。

u目标函数构建：以2035年综合竞争力得分为目标函数，资金总额为约束条件，求解最优分配方案。

u敏感性与鲁棒性分析：分析最优方案对参数假设的敏感性，给出鲁棒的政策建议。