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一、项目背景详细介绍

在流体力学、非线性波动以及计算物理中，Burgers 方程具有非常特殊的地位。

它既：

• 比线性波动方程复杂

• 又比完整的 Navier–Stokes 方程简单

因此被广泛用于：

• 非线性输运问题教学

• 数值格式稳定性与耗散性分析

• 激波（Shock）形成机理研究

• CFD 算法原型验证

在**非粘性（无粘）**情况下，Burgers 方程写作：

这是一个：

非线性、一阶双曲型偏微分方程

其最大特点是：

• 解会在有限时间内形成陡峭梯度

• 甚至出现间断（激波）

• 数值方法极易产生振荡或发散

因此，它是检验时间推进格式与空间离散策略的经典试金石。

为什么选择“跳蛙法（Leapfrog）”？

跳蛙法具有以下特性：

• 时间二阶精度

• 无数值耗散（对平滑解）

• 非常适合非线性守恒律的教学演示

但同时它也：

• 对初值和稳定性条件敏感

• 易产生计算模态（奇偶振荡）

这使得：

“非粘性 Burgers + 跳蛙法”成为一个极具教学价值的组合

二、项目需求详细介绍

2.3 功能需求

1. 使用有限差分法离散空间导数

2. 使用跳蛙法进行时间推进

3. 正确处理周期边界条件

4. 满足 CFL 稳定性条件

5. 输出随时间演化的解，用于观察激波形成

三、相关技术详细介绍

3.1 非粘性 Burgers 方程的本质

3.1.1 非线性输运方程

可以理解为：

速度等于解本身的输运方程

即：

• 高值区域传播得更快

• 低值区域传播得更慢

• 最终导致“前快后慢 → 追尾 → 激波”

3.1.2 激波形成的数学原因

特征线：

当不同特征线相交时：

• 解的导数趋于无穷大

• 经典解失效

• 出现间断

3.2 有限差分空间离散

3.2.1 中心差分格式

对空间导数采用二阶中心差分：

3.2.2 非守恒形式差分

方程写为：

该形式便于直接教学跳蛙法，但在激波后会出现非物理振荡（这一点在教学中非常重要）。

3.3 跳蛙法（Leapfrog Method）

3.3.1 时间差分格式

时间导数采用中心差分：

3.3.2 跳蛙更新公式

代入原方程得：

3.4 CFL 稳定性条件

非线性情况下：

这是动态 CFL 条件，需随时间监控。

3.5 跳蛙法的优缺点总结

四、实现思路详细介绍

4.1 整体求解流程

1. 在空间区间上进行均匀网格划分

2. 设置周期边界条件

3. 初始化 u(x,0)u(x,0)u(x,0)

4. 使用一次 Euler 法启动跳蛙格式

5. 使用跳蛙公式进行时间推进

6. 每一步检查 CFL 条件

7. 输出解用于分析

4.2 跳蛙法的启动问题

由于跳蛙法需要：

必须先使用：

一次前向 Euler 法计算第一步

4.3 周期边界条件处理

• 左边界引用右侧节点

• 右边界引用左侧节点

这是数值流体中最常见的测试边界条件。

五、完整实现代码

/**************************************************** * 文件名：Burgers1D_Leapfrog.cpp * 描述：C++ 使用有限差分 + 跳蛙法 * 求解一维非粘性 Burgers 方程 ****************************************************/ #include <iostream> #include <vector> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; /**************************************************** * 主函数 ****************************************************/ int main() { // 空间参数 int Nx = 200; double a = 0.0, b = 1.0; double dx = (b - a) / Nx; // 时间参数 double T = 0.2; double dt = 0.001; // 网格 vector<double> x(Nx); for (int i = 0; i < Nx; ++i) x[i] = a + i * dx; // 三个时间层 vector<double> u_prev(Nx, 0.0); vector<double> u_curr(Nx, 0.0); vector<double> u_next(Nx, 0.0); // 初始条件 u(x,0) = sin(2πx) for (int i = 0; i < Nx; ++i) u_curr[i] = sin(2.0 * M_PI * x[i]); // CFL 检查 double umax = *max_element(u_curr.begin(), u_curr.end()); if (fabs(umax) * dt / dx > 1.0) { cout << "不满足 CFL 条件" << endl; return -1; } // --- 启动步骤：Euler 法 --- for (int i = 0; i < Nx; ++i) { int ip = (i + 1) % Nx; int im = (i - 1 + Nx) % Nx; u_prev[i] = u_curr[i] - dt * u_curr[i] * (u_curr[ip] - u_curr[im]) / (2.0 * dx); } int Nt = static_cast<int>(T / dt); // --- 跳蛙时间推进 --- for (int n = 1; n < Nt; ++n) { for (int i = 0; i < Nx; ++i) { int ip = (i + 1) % Nx; int im = (i - 1 + Nx) % Nx; u_next[i] = u_prev[i] - (dt / dx) * u_curr[i] * (u_curr[ip] - u_curr[im]); } // 时间层更新 u_prev = u_curr; u_curr = u_next; } // 输出结果 cout << "x u(x,T)" << endl; for (int i = 0; i < Nx; ++i) cout << x[i] << " " << u_curr[i] << endl; return 0; }

六、代码详细解读（仅解读方法作用）

• u_prev：上一时间层解

• u_curr：当前时间层解

• u_next：下一时间层解

• 中心差分：空间导数近似

• 跳蛙法：时间二阶推进

• 周期边界：通过取模索引实现

七、项目详细总结

通过该项目，你已经深入掌握：

• 非粘性 Burgers 方程的物理与数学特性

• 非线性输运问题的数值困难来源

• 跳蛙法的构造思想与实现方式

• CFL 条件在非线性问题中的动态特征

• 激波形成前后数值解行为的巨大差异

这是从：

线性 PDE → 非线性守恒律

的关键跨越案例，也是进入CFD 世界的必经之路。

八、项目常见问题及解答

Q1：为什么会出现数值振荡？
A：跳蛙法无数值耗散，无法抑制高频误差。

Q2：激波后解为什么不可信？
A：非守恒格式在间断处不满足弱解条件。

Q3：工程中如何解决？
A：使用迎风格式、Lax–Friedrichs、TVD、WENO 等。

九、扩展方向与性能优化

1. 守恒形式 Burgers 方程

2. Lax–Friedrichs / Lax–Wendroff

3. TVD 与通量限制器

4. 加入粘性项形成粘性 Burgers 方程

5. 与 Navier–Stokes 方程一维对比