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一、项目背景详细介绍

在工程与科学计算中，热传导问题是最经典、最基础、也是最具代表性的偏微分方程（PDE）问题之一。
无论是：

• 机械零件的温度分布

• 电子芯片散热分析

• 建筑围护结构传热

• 地下工程温度场

最终都可以抽象为热方程。

热方程根据是否随时间变化，可分为：

• 瞬态热方程（Transient）

• 稳态热方程（Steady-state）

其中，稳态热方程描述的是：

温度场已达到平衡状态，不再随时间变化

在数学上，这将时间项完全消去，使问题转化为一个椭圆型偏微分方程，也是：

• 有限差分法（FDM）

• 有限元法（FEM）

最常见、最适合教学的二维模型。

本项目聚焦于：

二维矩形区域上的稳态热传导问题的数值求解

目标是让你真正理解：

• 热方程的数学本质

• 二维 PDE 如何离散成线性方程组

• 稳态问题与 FEM / FDM 的天然适配关系

• 工程中温度场求解的基本套路

二、项目需求详细介绍

2.4 功能需求

1. 使用数值方法求解二维稳态热方程

2. 支持任意网格划分密度

3. 构建线性方程组

4. 求解温度场分布

5. 输出节点温度，便于后处理

三、相关技术详细介绍

3.1 稳态热方程的物理意义

稳态条件下：

• 单位时间内：

  • 进入某点的热量

  • 离开该点的热量

• 完全平衡

因此该问题等价于：

二维 Poisson 方程

3.2 数值方法选择说明

二维稳态热方程最常见的数值解法包括：

本项目选用二维五点差分格式（FDM），原因：

• 数学直观

• 易于理解 PDE → 线性系统

• 非常适合作为 FEM 之前的过渡案例

3.3 五点差分格式

3.4 离散后问题的本质

最终问题转化为：

一个大型稀疏线性方程组

四、实现思路详细介绍

4.1 整体求解流程

1. 将矩形区域均匀划分为个网格

2. 建立内部节点编号映射

3. 使用五点差分构造系数矩阵

4. 构建右端项向量

5. 施加边界条件（Dirichlet）

6. 使用迭代法（Gauss-Seidel）求解

4.2 为什么选 Gauss-Seidel？

• 实现简单

• 内存占用小

• 对 Poisson 方程收敛性好

• 非常适合教学与中小规模问题

4.3 数据结构设计

• 使用二维vector存储温度场

• 边界点温度直接固定为 0

• 只对内部节点进行迭代更新

五、完整实现代码

/**************************************************** * 文件名：SteadyHeat2D.cpp * 描述：C++ 求解二维稳态热方程（矩形区域） ****************************************************/ #include <iostream> #include <vector> #include <cmath> using namespace std; /**************************************************** * 主函数 ****************************************************/ int main() { // 网格参数 int Nx = 20; // x 方向内部节点数 int Ny = 20; // y 方向内部节点数 double Lx = 1.0; double Ly = 1.0; double hx = Lx / (Nx + 1); double hy = Ly / (Ny + 1); double h2 = hx * hx; // hx = hy // 温度场（包含边界） vector<vector<double>> T(Nx + 2, vector<double>(Ny + 2, 0.0)); // 热源项 double f = 1.0; // Gauss-Seidel 迭代参数 int maxIter = 10000; double tol = 1e-6; // 迭代求解 for (int iter = 0; iter < maxIter; ++iter) { double maxError = 0.0; for (int i = 1; i <= Nx; ++i) { for (int j = 1; j <= Ny; ++j) { double old = T[i][j]; T[i][j] = 0.25 * ( T[i + 1][j] + T[i - 1][j] + T[i][j + 1] + T[i][j - 1] + h2 * f ); maxError = max(maxError, fabs(T[i][j] - old)); } } if (maxError < tol) { cout << "迭代收敛，迭代步数 = " << iter << endl; break; } } // 输出结果 cout << "x y Temperature" << endl; for (int i = 0; i <= Nx + 1; ++i) { for (int j = 0; j <= Ny + 1; ++j) { double x = i * hx; double y = j * hy; cout << x << " " << y << " " << T[i][j] << endl; } } return 0; }

六、代码详细解读（仅解读方法作用）

• T：存储二维温度场（含边界）

• 五点差分更新公式：离散 Poisson 方程

• Gauss-Seidel 循环：逐点更新温度

• maxError：用于判断迭代收敛性

• main：完整执行二维稳态热问题求解流程

七、项目详细总结

通过该项目，你已经完整掌握：

• 二维稳态热方程的数学模型

• Poisson 方程的数值离散思想

• PDE → 线性代数问题的转换

• 迭代法在工程计算中的真实用法

• 温度场数值求解的完整工程流程

这是从：

“理解一维问题” → “真正进入二维工程计算”

的关键跃迁案例。

八、项目常见问题及解答

Q1：为什么稳态问题不用时间推进？
A：时间项为零，系统已达平衡。

Q2：可以改成 FEM 吗？
A：完全可以，弱形式 + 单元装配即可。

Q3：如何加非零边界温度？
A：直接在边界节点赋值即可。

九、扩展方向与性能优化

1. 使用SOR / 共轭梯度法加速收敛

2. 非均匀网格

3. 非零边界条件

4. 二维 FEM 三角形单元实现

5. 与 Gmsh / VTK 可视化联动