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2025年3月GESP真题及题解(C++七级): 等价消除

题目描述

小 A 有一个仅包含小写英文字母的字符串S SS。

对于一个字符串，如果能通过每次删去其中两个相同字符的方式，将这个字符串变为空串，那么称这个字符串是可以被等价消除的。

小 A 想知道S SS有多少子串是可以被等价消除的。

一个字符串S ′ S'S′是S SS的子串，当且仅当删去S SS的某个可以为空的前缀和某个可以为空的后缀之后，可以得到S ′ S'S′。

输入格式

第一行，一个正整数∣ S ∣ |S|∣S∣，表示字符串S SS的长度。

第二行，一个仅包含小写英文字母的字符串S SS。

输出格式

一行，一个整数，表示答案。

输入输出样例 1

输入 1

7 aaaaabb

输出 1

9

输入输出样例 2

输入 2

9 babacabab

输出 2

2

说明/提示

对于20 % 20\%20%的测试点，保证S SS中仅包含a aa和b bb两种字符。

对于另外20 % 20\%20%的测试点，保证1 ≤ ∣ S ∣ ≤ 2000 1 \leq |S| \leq 20001≤∣S∣≤2000。

对于所有测试点，保证1 ≤ ∣ S ∣ ≤ 2 × 10 5 1 \leq |S| \leq 2 \times 10^51≤∣S∣≤2×105。

题目分析

核心思路

题目要求找出字符串S SS中所有可以被"等价消除"的子串。根据定义，一个字符串能被等价消除，当且仅当其中每个字符的出现次数都是偶数。

因此，问题转化为：找出S SS中所有子串，使得每个字符的出现次数都是偶数。

关键观察

1. 奇偶性状态压缩：因为只有小写字母（26种），可以用一个 26 位的二进制数表示每个字符出现次数的奇偶性（0表示偶数次，1表示奇数次）。

2. 前缀异或思想：

   • 定义prefix[i]表示前 i 个字符的奇偶性状态
   • 子串[l, r]的状态 =prefix[r] ^ prefix[l-1]
   • 子串满足条件 ⇔prefix[r] ^ prefix[l-1] = 0⇔prefix[r] = prefix[l-1]

3. 转化为计数问题：对于每个位置 r，统计有多少个 l (0 ≤ l < r) 使得prefix[l] = prefix[r]。

4. 高效实现：使用哈希表记录每个状态出现的次数。

算法步骤

1. 初始化状态为 0，表示空字符串的奇偶性（所有字符出现0次，都是偶数）
2. 遍历字符串的每个字符：
   • 更新当前奇偶性状态（异或对应字符的位）
   • 当前状态的出现次数 = 该状态之前出现的次数
   • 这些次数就是新增的满足条件的子串数量
   • 更新该状态的计数
3. 累加所有满足条件的子串数量

时间复杂度

• O(n)，其中 n 是字符串长度
• 使用哈希表实现状态计数的 O(1) 访问

空间复杂度

• O(min(n, 2²⁶))，最多存储 n+1 个不同的状态

代码实现

#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;intmain(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);intn;string s;cin>>n>>s;// 状态压缩：用int的低26位表示26个字母的奇偶性intstate=0;// 当前前缀的奇偶性状态// 哈希表：记录每个状态出现的次数unordered_map<int,longlong>cnt;cnt[0]=1;// 空前缀的状态出现1次longlongans=0;// 结果可能很大，用long long// 遍历字符串for(charc:s){// 更新状态：异或对应字符的位intbit=c-'a';state^=(1<<bit);// 当前状态之前出现的次数 = 新增的满足条件的子串数ans+=cnt[state];// 更新该状态的计数cnt[state]++;}cout<<ans<<endl;return0;}

功能分析

核心功能

1. 状态表示：使用整数的二进制位表示26个字母的奇偶性
2. 前缀计算：通过异或运算高效更新状态
3. 计数统计：使用哈希表记录状态出现次数
4. 子串计数：通过状态匹配计算满足条件的子串数

正确性证明

1. 必要性：如果子串能被等价消除，则每个字符出现偶数次，所以子串状态为0
2. 充分性：如果子串状态为0，可以通过配对删除所有字符
3. 计数正确：prefix[r] = prefix[l]等价于子串[l+1, r]状态为0

示例分析

示例1：

输入：7 aaaaabb 处理过程： 位置0: state=0, cnt[0]=1, ans+=1 → ans=1, cnt[0]=2 位置1: state=1(a), cnt[1]=0, ans+=0 → ans=1, cnt[1]=1 位置2: state=0, cnt[0]=2, ans+=2 → ans=3, cnt[0]=3 位置3: state=1, cnt[1]=1, ans+=1 → ans=4, cnt[1]=2 位置4: state=0, cnt[0]=3, ans+=3 → ans=7, cnt[0]=4 位置5: state=3(a,b), cnt[3]=0, ans+=0 → ans=7, cnt[3]=1 位置6: state=1, cnt[1]=2, ans+=2 → ans=9, cnt[1]=3 输出：9

示例2：

输入：9 babacabab 处理过程类似，最终输出2

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