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2025年3月GESP真题及题解(C++七级): 图上移动

题目描述

小 A 有一张包含n nn个结点与m mm条边的无向图，结点以1 , 2 , … , n 1, 2, \dots, n1,2,…,n标号。小 A 会从图上选择一个结点作为起点，每一步移动到某个与当前小 A 所在结点相邻的结点。对于每个结点i ii（1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n1≤i≤n），小 A 想知道从结点i ii出发恰好移动1 , 2 , … , k 1, 2, \dots, k1,2,…,k步之后，小 A 可能会位于哪些结点。由于满足条件的结点可能有很多，你只需要求出这些结点的数量。

输入格式

第一行，三个正整数n , m , k n, m, kn,m,k，分别表示无向图的结点数与边数，最多移动的步数。

接下来m mm行，每行两个正整数u i , v i u_i, v_iui​,vi​，表示图中的一条连接结点u i u_iui​与v i v_ivi​的无向边。

输出格式

共n nn行，第i ii行 (1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n1≤i≤n) 包含k kk个整数，第j jj个整数 (1 ≤ j ≤ k 1 \leq j \leq k1≤j≤k) 表示从结点i ii出发恰好移动j jj步之后可能位置的结点数量。

输入输出样例 1

输入 1

4 4 3 1 2 1 3 2 3 3 4

输出 1

2 4 4 2 4 4 3 3 4 1 3 3

说明/提示

对于20 % 20\%20%的测试点，保证k = 1 k = 1k=1。

对于另外20 % 20\%20%的测试点，保证1 ≤ n ≤ 50 , 1 ≤ m ≤ 50 1 \leq n \leq 50, 1 \leq m \leq 501≤n≤50,1≤m≤50。

对于所有测试点，保证1 ≤ n ≤ 500 , 1 ≤ m ≤ 500 , 1 ≤ k ≤ 20 , 1 ≤ u i , v i ≤ n 1 \leq n \leq 500, 1 \leq m \leq 500, 1 \leq k \leq 20, 1 \leq u_i, v_i \leq n1≤n≤500,1≤m≤500,1≤k≤20,1≤ui​,vi​≤n。

思路分析

本题要求计算从每个结点出发，恰好移动 1 到 k 步后可能到达的不同结点数量。由于 k 较小（≤20），可以采用动态规划方法对每个起点单独计算。

对于每个起点 s：

• 定义状态dp[j][v]表示从 s 出发恰好 j 步能否到达结点 v。
• 初始状态：dp[0][s] = true，其余为 false。
• 状态转移：对于步数 j 从 1 到 k，遍历每条边 (u, v)，若dp[j-1][u]为 true，则dp[j][v]置为 true；同理，若dp[j-1][v]为 true，则dp[j][u]置为 true。因为是无向图，每条边可以双向行走。
• 最终对于每个 j，统计dp[j][v]中 true 的数量即为答案。

时间复杂度：共 n 个起点，每个起点进行 k 轮转移，每轮遍历 m 条边，总复杂度 O(n * k * m)，在题目数据范围（n,m ≤ 500, k ≤ 20）下完全可行。

代码实现

#include<iostream>#include<cstring>usingnamespacestd;constintMAXN=505;// 最大结点数constintMAXK=25;// 最大步数+5constintMAXM=505;// 最大边数booldp[MAXK][MAXN];// dp[步数][结点]：从当前起点出发恰好j步能否到达该结点pair<int,int>edges[MAXM];// 存储所有边intmain(){intn,m,k;cin>>n>>m>>k;// 读入边for(inti=0;i<m;i++){intu,v;cin>>u>>v;edges[i]={u,v};// 存为pair方便使用}// 对每个起点分别计算for(intstart=1;start<=n;start++){// 初始化dp数组为falsememset(dp,0,sizeof(dp));// 0步时只能到达起点自身dp[0][start]=true;// 动态规划：计算恰好j步的可达性for(intj=1;j<=k;j++){// 遍历每条边进行转移for(inti=0;i<m;i++){intu=edges[i].first,v=edges[i].second;// 如果上一步能到达u，则这一步可以通过边(u,v)到达vif(dp[j-1][u]){dp[j][v]=true;}// 无向图，反向同理if(dp[j-1][v]){dp[j][u]=true;}}}// 输出结果：对于每个步数j，统计可达结点数量for(intj=1;j<=k;j++){intcnt=0;for(intv=1;v<=n;v++){if(dp[j][v])cnt++;}cout<<cnt;if(j<k)cout<<" ";// 行内空格分隔}cout<<endl;// 换行进入下一个起点}return0;}

功能分析

1. 输入处理：

   • 读取结点数 n、边数 m 和最大步数 k。
   • 存储 m 条无向边。

2. 核心计算：

   • 外层循环遍历每个起点 start（1 到 n）。
   • 对每个起点，使用二维布尔数组 dp 记录可达性。
   • 动态规划过程模拟了所有可能的移动路径（允许重复访问结点和边）。
   • 通过遍历所有边进行状态转移，确保考虑所有可能的移动。

3. 输出结果：

   • 对每个起点，输出 k 个整数，分别表示移动 1 到 k 步后可能位置的数量。

4. 算法特点：

   • 利用 k 较小的条件，采用朴素的动态规划即可高效求解。
   • 每个起点独立计算，逻辑清晰，易于实现。
   • 正确处理无向边和自环（如果存在）的情况。

5. 复杂度：

   • 时间复杂度：O(n * k * m)，最大为 500 × 20 × 500 = 5 × 10^6，运行速度快。
   • 空间复杂度：O(k * n + m)，主要用于存储 dp 数组和边列表。

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