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6.3 执行器与摩擦模型

在前两节中，我们基于拉格朗日方程或牛顿-欧拉递推法，推导了机器人连杆系统的刚体动力学模型，其标准形式为：
M(q)q¨+C(q,q˙)q˙+G(q)=τ \mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{G}(\mathbf{q}) = \boldsymbol{\tau}M(q)q¨​+C(q,q˙​)q˙​+G(q)=τ
此处的τ\boldsymbol{\tau}τ常被视为理想的控制输入。然而，在实际机器人系统中，τ\boldsymbol{\tau}τ并非直接可得，它是由电机、减速器等构成的物理执行器系统产生的。从控制器输出指令（如电压或电流信号）到最终作用在连杆上的有效力矩之间，存在一个复杂的动态过程，并伴随着显著的非线性和能量损耗。本节旨在深入剖析这一过程，建立包含电机电枢动力学、传动机构模型以及非线性摩擦在内的精细化执行器模型。该模型是理解机器人实际动态行为、设计高性能（特别是高精度、低速平稳）控制器的关键。

6.3.1 电机电枢动力学模型

机器人的关节驱动大多采用电动执行器，其中永磁同步电机或直流电机配合驱动器是最常见的组合。控制器的指令（通常是期望力矩τdes\tau_{des}τdes​）首先被转换为电机的电流或电压设定值。电机内部的电磁过程决定了其输出力矩τm\tau_mτm​。

对于一个典型的直流有刷电机或采用磁场定向控制的永磁同步电机，其简化但足够精确的模型如下：

1. 电气子系统方程：
   u(t)=Ri(t)+Ldi(t)dt+keωm(t) u(t) = R i(t) + L \frac{di(t)}{dt} + k_e \omega_m(t)u(t)=Ri(t)+Ldtdi(t)​+ke​ωm​(t)
   其中：

   • u(t)u(t)u(t)：电枢端电压（控制输入）。
   • i(t)i(t)i(t)：电枢电流。
   • R,LR, LR,L：电枢回路的总电阻和电感。
   • kek_eke​：电机的反电动势常数。
   • ωm(t)\omega_m(t)ωm​(t)：电机转子的角速度。

2. 电磁转矩方程：
   τm(t)=kti(t) \tau_m(t) = k_t i(t)τm​(t)=kt​i(t)
   其中ktk_tkt​是电机的转矩常数，在SI单位制中，对于理想永磁电机，常满足kt=kek_t = k_ekt​=ke​。

3. 机械子系统方程：
   τm(t)=Jmω˙m(t)+τf(ωm)+τl(t) \tau_m(t) = J_m \dot{\omega}_m(t) + \tau_f(\omega_m) + \tau_l(t)τm​(t)=Jm​ω˙m​(t)+τf​(ωm​)+τl​(t)
   其中：

   • JmJ_mJm​：电机转子及其直接相连部件的转动惯量。
   • τf(ωm)\tau_f(\omega_m)τf​(ωm​)：电机轴上的摩擦转矩（详见6.3.3节）。
   • τl(t)\tau_l(t)τl​(t)：折算到电机轴上的负载转矩（即经过减速器后，连杆动力学反映到电机轴的反作用力矩）。

电机驱动器（伺服驱动器）通常内置高速的电流环，其控制带宽远高于外部的速度环和位置环。因此，在机器人系统级动力学分析中，常可做如下合理简化：忽略电感的动态 (Ldidt≈0L \frac{di}{dt} \approx 0Ldtdi​≈0)，并假设电流环是理想的，即电机实际电流i(t)i(t)i(t)能瞬时、无差地跟踪控制器给出的期望电流指令ides(t)i_{des}(t)ides​(t)。由此，电机输出力矩简化为：
τm(t)=ktides(t)=ktkaτcmd(t) \tau_m(t) = k_t i_{des}(t) = k_t k_a \tau_{cmd}(t)τm​(t)=