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5.3 轨迹规划与插值

机器人轨迹规划是连接高层任务指令与底层伺服控制的关键环节。其核心任务是根据给定的任务目标（如“从点A运动到点B”），在满足机器人本体物理约束（如关节位置、速度、加速度极限）和环境约束（如避障）的前提下，生成一条在时间上光滑、在空间上合理的运动路径。这条路径在时间上进行参数化后，即成为控制器可跟踪的轨迹。轨迹规划的质量直接决定了机器人运动的平滑性、效率、精度和整体性能。

5.3.1 基本概念与规划流程

5.3.1.1 路径、轨迹与参数化

• 路径：指机器人末端执行器或关节在构型空间中从起点到终点所经过的空间曲线，它不包含时间信息。
• 轨迹：是经过了时间参数化的路径。它明确规定了在任意时刻ttt，机器人末端或关节的位置、速度乃至加速度。一个一维轨迹可表示为关于时间的函数s(t)s(t)s(t)。
• 参数化：将路径几何描述转化为时间函数的过程。常见的参数是归一化时间u∈[0,1]u \in [0, 1]u∈[0,1]，路径函数为p(u)p(u)p(u)，再通过时间映射函数u=g(t)u = g(t)u=g(t)得到轨迹s(t)=p(g(t))s(t) = p(g(t))s(t)=p(g(t))。

5.3.1.2 轨迹规划的一般流程
典型的轨迹规划流程包含两个层次：

1. 路径规划：在机器人构型空间或任务空间中，寻找一条从起始点到目标点、满足所有几何约束（主要是无碰撞）的可行路径。这通常是一个复杂的几何搜索问题，可能用到A*、RRT（快速探索随机树）等算法。
2. 轨迹生成：对规划出的路径进行时间参数化，即确定机器人沿该路径运动的时间规律s(t)s(t)s(t)，并确保生成的位置、速度、加速度曲线连续且不超过执行器的物理极限。

本节重点讨论轨迹生成，特别是当路径已简化为一系列关键点（路径点）时的插值方法。

5.3.2 关节空间轨迹规划

关节空间规划直接在机器人的关节空间中生成每个关节的运动轨迹q(t)q(t)q(t)。其优点是计算简单，不会在关节空间产生奇异点，且能保证关节位置、速度和加速度始终在硬件限制内。缺点是末端执行器在任务空间中的运动路径不直观，可能不满足某些任务的空间约束。

5.3.2.1 多项式插值
这是最基础的插值方法，通过多项式函数连接路径点。

• 三次多项式插值：给定起点和终点的位置及速度（常设为0），可唯一确定一条三次多项式轨迹：
  q(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3 q(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3q(t)=a0​+a1​t+a2​t2+a3​t3
  其中，四个系数a0,a1,a2,a3a_0, a_1, a_2, a_3a0​,a1​,a