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7.1 频域与时域辨识方法

机器人动力学模型，无论是用于高精度控制、高保真仿真还是状态估计，其准确性都高度依赖于模型参数的精确性。理论上，通过连杆的CAD模型和质量属性测量可以获得惯性参数，通过数据手册可以获得电机与传动参数。然而，这种方法存在显著局限：CAD模型通常不包含电缆、线束等非刚性附件的质量分布；制造与装配公差会导致实际参数与设计值存在偏差；复杂的非线性因素（如摩擦、柔性）的参数难以通过理论计算获得。因此，通过实验数据对机器人系统模型进行系统辨识，是获取高可信度模型参数的必经之路。

系统辨识的核心是：在给定模型结构（如刚体动力学方程形式）的前提下，利用从实际系统输入输出中采集的实验数据，通过优化算法估计出模型中的未知参数。本节将系统阐述机器人系统辨识，特别是动力学参数辨识的两类主要方法：频域法与时域法，并重点介绍基于激励轨迹的最小二乘辨识流程。

7.1.1 系统辨识的基本原理与问题描述

考虑一个动态系统，其离散时间的输入输出关系可描述为：
y(t)=G(q,θ)u(t)+H(q,θ)e(t) y(t) = G(q, \boldsymbol{\theta}) u(t) + H(q, \boldsymbol{\theta}) e(t)y(t)=G(q,θ)u(t)+H(q,θ)e(t)
其中，G(q,θ)G(q, \boldsymbol{\theta})G(q,θ)是系统模型，H(q,θ)H(q, \boldsymbol{\theta})H(q,θ)是噪声模型，qqq是前移算子，θ\boldsymbol{\theta}θ是待辨识的参数向量，e(t)e(t)e(t)是白噪声。系统辨识的任务就是基于观测到的输入输出数据序列{ u(1),y(1),...,u(N),y(N)}\{u(1), y(1), ..., u(N), y(N)\}{u(1),y(1),...,u(N),y(N)}，找到一个参数估计值θ^N\hat{\boldsymbol{\theta}}_Nθ^N​，使得模型在某种准则下最优地拟合数据。

对于机器人刚体动力学参数辨识，问题可以具体化为：动力学方程
M(q,π)q¨+C(q,q˙,π)q˙+G(q,π)+Ff(q˙,π)=τ \mathbf{M}(\mathbf{q}, \boldsymbol{\pi})\ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, \boldsymbol{\pi})\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{G}(\mathbf{q}, \boldsymbol{\pi}) + \mathbf{F}_f(\dot{\mathbf{q}}, \boldsymbol{\pi}) = \boldsymbol{\tau}M(q,π)q¨​+C(q,q˙​,π)q˙​+G(q,π)+Ff​(q˙​,π)=τ
对动力学参数π\boldsymbol{\pi}π（包含各连杆的质量、质心坐标、惯性张量元素以及摩擦系数等）是线性的。即，方程可重写为线性回归形式：
τ=Y(q,q˙,q¨)π \boldsymbol{\tau} = \mathbf{Y}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, \ddot{\mathbf{q}}) \boldsymbol{\pi}τ=Y(q,q˙​,q¨​)π
其中，Y(q,q˙,q¨)∈Rn×p\mathbf{Y}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, \ddot{\mathbf{q}}) \in \mathbb{R}^{n \times p}Y(q,q˙​