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一. 什么是最大公约数（GCD）

最大公约数（Greatest Common Divisor）是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。例如：

• 12 和 18 的公约数有 1, 2, 3, 6，其中最大的是 6

• 所以 gcd(12, 18) = 6

二. 方法一：辗转相除法（欧几里得算法）

1.这是最经典的求最大公约数的方法，基于以下原理：

两个数的最大公约数等于较大数除以较小数的余数和较小数的最大公约数

gcd(a, b) = gcd(b, a % b)

其中 a % b 表示 a 除以 b 的余数。

2.举个例子：

求 gcd(12, 18)

1. gcd(12, 18) = gcd(18, 12) // 先确保第一个数大

2. 18 ÷ 12 = 1 余 6

3. gcd(18, 12) = gcd(12, 6) // 应用公式

4. 12 ÷ 6 = 2 余 0

5. gcd(12, 6) = gcd(6, 0)

6. 当第二个数为0时，第一个数就是答案：6

三.现在看代码的详细解释

方法1.1：循环实现

public static int gcd1(int a, int b) { // 确保a >= b if (a < b) { int temp = a; // 临时变量保存a的值 a = b; // 把b的值赋给a b = temp; // 把原来a的值赋给b } // 执行到这里，a一定是较大的数，b是较小的数 // 辗转相除 while (b != 0) { // 当b不等于0时继续循环 int remainder = a % b; // 求a除以b的余数 a = b; // 把b的值赋给a b = remainder; // 把余数赋给b } return a; // 当b=0时，a就是最大公约数 }

用例子走一遍：计算 gcd1(12, 18)

1. 输入 a=12, b=18

2. 因为 12 < 18，交换：a=18, b=12

3. 进入while循环：

   • 第一次循环：b=12≠0

     • remainder = 18 % 12 = 6

     • a = 12

     • b = 6

   • 第二次循环：b=6≠0

     • remainder = 12 % 6 = 0

     • a = 6

     • b = 0

   • 第三次：b=0，退出循环

4. 返回 a=6

方法1.2：递归实现

public static int gcd2(int a, int b) { if (b == 0) { // 终止条件：当b=0时 return a; // a就是最大公约数 } return gcd2(b, a % b); // 递归调用：用(b, a%b)继续计算 }

递归的思考方式：

1. 把大问题分解成小问题

2. 每次递归都让问题变小一点

3. 直到遇到最简单的情况（b=0）

用例子走一遍：计算 gcd2(12, 18)

1. 第一次调用：gcd2(12, 18)

   • b=18≠0，不返回a

   • 调用 gcd2(18, 12%18) 即 gcd2(18, 12)

2. 第二次调用：gcd2(18, 12)

   • b=12≠0

   • 调用 gcd2(12, 18%12) 即 gcd2(12, 6)

3. 第三次调用：gcd2(12, 6)

   • b=6≠0

   • 调用 gcd2(6, 12%6) 即 gcd2(6, 0)

4. 第四次调用：gcd2(6, 0)

   • b=0 ✓

   • 返回 a=6

5. 结果层层返回：6 ← 6 ← 6 ← 6

四.再看测试代码

public static void main(String[] args) { int a = 12; int b = 18; // 测试两种方法 System.out.println("gcd1(" + a + ", " + b + ") = " + gcd1(a, b)); System.out.println("gcd2(" + a + ", " + b + ") = " + gcd2(a, b)); // 更多测试 System.out.println("\n更多测试："); System.out.println("gcd(24, 36) = " + gcd2(24, 36)); // 应该是12 System.out.println("gcd(17, 13) = " + gcd2(17, 13)); // 两个质数，应该是1 System.out.println("gcd(100, 0) = " + gcd2(100, 0)); // 一个数为0，应该是100 }

理解：

辗转相除法就像"以大换小"的游戏：

1. 用大数除以小数，得到余数

2. 原来的小数变成新的"大数"

3. 余数变成新的"小数"

4. 重复直到余数为0

5. 最后的小数就是答案

用 gcd(12, 18) 来说：

开始：大=18, 小=12
18 ÷ 12 = 1 余 6 → 新大=12, 新小=6
12 ÷ 6 = 2 余 0 → 余数为0，停止
答案就是最后的小数：6