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我们用「带负号的声音接力」这个游戏来彻底搞懂第四类部分响应的预编码和相关编码。这个类比会让你发现它和第一类的精妙差异。

核心比喻：带负号的猜数游戏

这次的游戏规则变了，更奇特：

新规则：我报出的数字 =我当前的数字-你猜的上上个数字

注意：中间跳过了「你猜的上一个数字」！

举个例子：

• 我心中的序列还是：1 0 1 1 0

• 第一个数：我报1（前面没有上上个，默认为0，1 - 0 = 1）

• 你猜出第一个是1

• 第二个数：我心中的是0，但规则要看「上上个数字」，现在还没有上上个（只有一个猜过的），所以默认为0，0 - 0 = 0

• 你听到0

• 第三个数：我心中的是1，现在有「上上个数字」了（就是你猜的第一个数1），所以我要报1 - 1 = 0

• 你听到0...

等等！这样直接玩会出问题，因为0可能代表很多情况。所以我们需要预编码这个「作弊小抄」。

第四类的特殊规则：[1, 0, -1]

数学表达：发送值 T_k = 预编码值 P_k - 预编码值 P_{k-2}

关键特征：

1. 中间系数为0：意味着不包含「前一个值」的影响

2. 最后一个系数为-1：是「减去上上个值」，不是加上

3. 天然无直流：所有值正负抵消，平均值为零

预编码：提前布局的数学魔术

对于第四类，最常用的预编码方式是：

预编码规则：P_k = D_k ⊕ P_{k-2}
（注意：这里是P_{k-2}，不是P_{k-1}！）

让我们实际算一下：

步骤1：预编码计算

原始数据：D = [1, 0, 1, 1, 0]
设初始值：P₋₁ = 0,P₀ = 0（需要两个初始值）

• P₁ = D₁ ⊕ P₋₁ = 1 ⊕ 0 = 1

• P₂ = D₂ ⊕ P₀ = 0 ⊕ 0 = 0

• P₃ = D₃ ⊕ P₁ = 1 ⊕ 1 = 0

• P₄ = D₄ ⊕ P₂ = 1 ⊕ 0 = 1

• P₅ = D₅ ⊕ P₃ = 0 ⊕ 0 = 0

得到预编码序列：P = [1, 0, 0, 1, 0]

相关编码：按照规则「出牌」

规则：T_k = P_k - P_{k-2}（发送值 = 当前预编码值 - 上上个预编码值）

计算发送序列：
设：P₋₁ = 0,P₀ = 0

• T₁ = P₁ - P₋₁ = 1 - 0 = 1

• T₂ = P₂ - P₀ = 0 - 0 = 0

• T₃ = P₃ - P₁ = 0 - 1 = -1

• T₄ = P₄ - P₂ = 1 - 0 = 1

• T₅ = P₅ - P₃ = 0 - 0 = 0

发送序列：T = [1, 0, -1, 1, 0]

注意：出现了负值-1！这是第四类的特点。

接收端的巧妙「解密」

接收端收到：R = [1, 0, -1, 1, 0]

判决规则超级简单：

1. 如果R_k = 0→ 直接判为0

2. 如果R_k = ±1→ 判为1

为什么？因为预编码的设计让这个规则成立！

让我们验证：

• R₁ = 1→ 输出1

• R₂ = 0→ 输出0

• R₃ = -1→ 输出1

• R₄ = 1→ 输出1

• R₅ = 0→ 输出0

完美还原：[1, 0, 1, 1, 0]✅

全过程图解

为什么第四类如此特别？

与第一类 ([1, 1]) 对比：

第四类的「天然无直流」优势

这是它最大的价值！因为发送值 = 当前值 - 前前值，正负会自然抵消：

• 如果数据中1多，会出现+1和-1

• 长期平均值为0

• 适合变压器、电容耦合的信道（这些器件通不了直流）

生活类比：

• 第一类像电池供电的玩具：可以有恒定电压（直流）

• 第四类像交流电灯泡：电压正负交替，平均为零，适合家用电路

一句话总结第四类的预编码+相关编码

预编码用「隔位异或」布局，相关编码用「当前减前前」出牌，接收端用「是零非零」判决——这套组合拳专门为「不能过直流」的信道而生，实现了简单、无直流、抗干扰的完美平衡。