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第2.1节 线性代数与空间变换

2.1.1 引言：机器人学的数学语言

机器人学，特别是运动学与控制，本质上是对空间运动和变换的数学描述。机器人的每一个关节、连杆乃至末端执行器的位姿，都必须在空间中精确量化；对它们的控制和规划，也无不建立在数学模型的运算之上。线性代数为描述空间中的点、向量、坐标系及其相互关系提供了最直接和高效的工具。从最基本的向量运算，到复杂的刚体变换，线性代数的概念贯穿始终。因此，牢固掌握向量、矩阵、特征值、齐次坐标等核心数学工具，是理解机器人后续所有高级理论与技术（如正逆运动学、动力学、轨迹规划）的基石。

2.1.2 向量、矩阵与特征值：机器人状态描述的基础

2.1.2.1 向量与矩阵

在机器人学中，向量用于描述位置、速度、力等具有大小和方向的物理量。一个在三维空间中的位置向量p⃗\vec{p}p​可表示为：
p⃗=[px,py,pz]T \vec{p} = [p_x, p_y, p_z]^Tp​=[px​,py​,pz​]T
矩阵则广泛应用于表示坐标变换、描述刚体姿态以及构建动力学方程。例如，两个坐标系之间的旋转关系可以用一个3×33 \times 33×3的旋转矩阵R\mathbf{R}R表示。

2.1.2.2 特征值与特征向量

特征值与特征向量是分析机器人系统动态特性的关键工具。对于一个表示系统状态转移或刚体惯性属性的方阵A\mathbf{A}A，若存在非零向量v⃗\vec{v}v和标量λ\lambdaλ满足：
Av⃗=λv⃗ \mathbf{A} \vec{v} = \lambda \vec{v}Av=λv
则λ\lambdaλ称为特征值，v⃗\vec{v}v称为对应的特征向量。在机器人动力学中，惯性矩阵的特征值和特征向量反映了系统在不同方向上的惯性分布；在稳定性分析中，系统矩阵的特征值直接决定了控制系统的收敛速度和稳定性。在实际应用中，如机器人系统辨识，特征向量选择（FVS）等方法被用于从高维数据中提取最具代表性的特征子空间，以构建高效模型。

2.1.3 刚体姿态描述：旋转矩阵、欧拉角与四元数

描述一个刚体在三维空间中的姿态（即方向）是机器人学的核心问题。常用的方法有旋转矩阵、欧拉角和四元数。

2.1.3.1 旋转矩阵

旋转矩阵R\mathbf{R}R是一个3×33 \times 33×3的单位正交矩阵（RTR=I,det⁡(R)=1\mathbf{R}^T\mathbf{R} = \mathbf{I}, \det(\mathbf{R}) = 1RTR=I,det(R)=1）。它直接描述了两个右手坐标系之间的旋转关系。例如，将点（或向量）从坐标系{ B}\{B\}{B}变换到坐标系{ A}\{A\}{