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脉冲响应不变法设计数字滤波器

（1）确定数字滤波器的技术指标

这是设计的起点，指标通常在数字频率域（ω）给出，范围一般为-π 到 π或0 到 π（rad/sample）。

• 通带边界频率：ωp(rad/sample)

• 通带最大衰减（纹波）：αp(dB)，通常对应-3dB点或更小的衰减值（如 1dB）。

• 阻带截止频率：ωs(rad/sample)

• 阻带最小衰减：αs(dB)，通常要求较大（如 40dB， 60dB）。

（2）将数字滤波器的技术指标转换为模拟原型滤波器的技术指标

这是关键的一步。脉冲响应不变法的核心思想是：让数字滤波器的单位脉冲响应h[n]等于对应模拟滤波器冲激响应h_a(t)的等间隔采样。

• 频率映射关系：
  由于采样，数字频率ω与模拟频率Ω的关系是线性的：

  ω=ΩT

  其中T是采样周期，f_s = 1/T是采样频率。

• 技术指标转换公式：
  因此，转换非常简单直接：

  通带衰减αp和阻带衰减αs保持不变。

  重要提示：在设计时，T是一个可以自由选择的参数。为了计算方便，通常取 T = 1。此时，数字频率ω在数值上就等于模拟频率Ω。但这并不意味着两者物理意义相同。

（3）设计模拟滤波器

根据转换得到的模拟指标(Ωp, αp, Ωs, αs)，设计一个满足这些指标的模拟滤波器H_a(s)。

• 常用的模拟原型滤波器有：

  • 巴特沃斯滤波器：通带最平坦，衰减单调。

  • 切比雪夫滤波器（I型/II型）：通带或阻带内有纹波，但过渡带更陡。

  • 椭圆滤波器：通带和阻带均有纹波，但给定阶数下过渡带最陡。

• 设计方法包括确定阶数N和截止频率Ωc，然后查表或计算得到系统函数H_a(s)。

（4）利用脉冲响应不变法将H_a(s)转换成数字滤波器H(z)

这是实现的核心步骤。目标是使h[n] = h_a(nT)。

实现方法（s → z 转换）：

1. 部分分式分解：将设计好的模拟滤波器系统函数H_a(s)分解为一阶极点（对于复数极点，总是以共轭对出现）的形式：

   其中s_k是H_a(s)的极点，A_k是对应的留数。

2. 映射转换：对每个一阶项进行变换。已知拉普拉斯变换对：L{A_k e^{s_k t} u(t)} = A_k / (s - s_k)。
   对该模拟冲激响应以周期T采样：h_a(nT) = A_k e^{s_k nT} u(nT)。
   对采样序列h[n]取 Z 变换：

   因此，映射关系为：

   这个关系是整个方法的基石。

3. 组合得到H(z)：将所有项组合，即得到数字滤波器的系统函数：

   在实际编程中（如MATLAB），impinvar函数就是自动完成这个过程的。

（5）脉冲响应不变法设计数字滤波器存在的问题

1. 混叠失真：

   • 根本原因：根据采样定理，模拟频率响应H_a(jΩ)经过周期为Ω_s = 2π/T的频谱周期延拓后，才得到数字频率响应H(e^(jω))。

   • 问题：只有当模拟滤波器是严格带限的，且最高频率Ω_h < π/T（即奈奎斯特频率）时，周期延拓才不会产生混叠。但实际滤波器（如巴特沃斯、切比雪夫）的幅频响应|H_a(jΩ)|在通带外是逐渐衰减而非陡峭截止的，总会在Ω > π/T处有非零成分，从而导致高频混叠到低频，主要影响阻带性能。

   • 后果：阻带衰减指标可能无法满足，特别是在阻带边界附近。

2. 限于低通和带通滤波器设计：

   • 由于严重的混叠，该方法不能直接用于设计高通和带阻滤波器。因为高通和带阻模拟滤波器的频带无限宽，采样后会产生完全无法接受的混叠。

总结与比较

• 优点：

  • 时域冲激响应模仿良好 (h[n] = h_a(nT))。

  • 如果模拟滤波器是带限良好的，且采样频率足够高，数字滤波器的频响能很好逼近模拟滤波器。

  • 系统函数是z^(-1)的有理分式，易于实现。

• 缺点：

  • 存在混叠失真。这是最主要的问题。

  • 不适用于高通、带阻滤波器。

  • 与另一种常用方法双线性变换法相比，双线性变换通过频率的“压缩扭曲”完全消除了混叠，代价是频率轴存在非线性畸变，但通用性更强（可设计各种滤波器）。

因此，脉冲响应不变法通常仅用于对时域波形保持要求严格，且频带受限（如低通、带通）的场合。在设计时，为了减轻混叠，通常需要稍微提高滤波器的阶数，或者使用高于指标要求的采样频率。