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第二十章 偏微分方程的数值解

在自然科学探索与工程技术实践的广阔领域中，各类运动发展过程与平衡现象的定量规律，往往通过包含未知函数及其导数的方程来描述。其中，仅含未知多元函数及其偏导数的方程，被定义为偏微分方程。这一数学工具作为连接物理现象与定量分析的桥梁，贯穿于热传导、流体流动、电磁传播等诸多核心领域，其求解精度直接影响科学研究的深度与工程应用的可靠性。

为准确把握偏微分方程的特性，需明确两个核心概念：方程中未知函数偏导数的最高阶数，称为偏微分方程的阶；若方程对未知函数及其所有偏导数均满足线性关系，则为线性偏微分方程，否则为非线性偏微分方程。此外，描述具体问题时，仅给出偏微分方程（称为泛定方程）不足以确定唯一解，还需附加初始条件与边界条件（统称定解条件）。泛定方程与定解条件共同构成定解问题，这是偏微分方程求解的基本前提。

§1 偏微分方程的定解问题

根据方程的数学性质与描述的物理现象，偏微分方程主要分为椭圆型、抛物型和双曲型三类，各类方程对应特定的定常或非定常物理过程，其定解问题的构造也各具特点。

1.1 椭圆型方程的定解问题

椭圆型方程主要描述各类定常物理过程，即不随时间变化的平衡状态。其最典型、最简单的形式是泊松方程，文字表述为：未知二元函数的二阶混合偏导数之和等于一个已知二元函数。当这个已知二元函数恒等于零时，泊松方程退化为拉普拉斯方程，也称为调和方程。在实际应用中，带有稳定热源或无热源的稳定温度场分布、不可压缩流体的稳定无旋流动，以及静电场的电势分布等物理现象，均满足这类椭圆型方程。

椭圆型方程中最常见的定解问题是第一边值问题，其完整表述为：在以分段光滑曲线为边界的有界区域内，求解满足泊松方程的未知函数，且该函数在边界上的取值等于已知的