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信奥赛C++提高组csp-s之KMP算法详解

一、KMP算法概述

KMP算法（Knuth-Morris-Pratt算法）是一种高效的字符串匹配算法，用于在文本串中查找模式串的出现位置。与朴素的暴力匹配相比，KMP算法的时间复杂度为O(n+m)，其中n是文本串长度，m是模式串长度。

二、核心思想：利用已匹配信息避免重复比较

朴素算法的缺点

// 暴力匹配示例for(inti=0;i<=n-m;i++){boolfound=true;for(intj=0;j<m;j++){if(text[i+j]!=pattern[j]){found=false;break;}}if(found){// 找到匹配}}// 时间复杂度：O(n*m)

KMP算法的核心是：当出现不匹配时，利用已知信息，将模式串向右滑动尽可能远的距离，而不是每次只移动一位。

三、关键概念：前缀函数（next数组）

1. 什么是前缀函数？

对于模式串P的每个位置i（1≤ i ≤ m），定义前缀函数nxt[i]表示：
- 子串P[1:i]的最长相同真前缀和真后缀的长度
- 真前缀：不包括字符串本身的前缀
- 真后缀：不包括字符串本身的后缀

2. next数组的作用

记录匹配失败时，模式串应该回退到哪个位置继续匹配
避免主串指针回退，保持O(n)的时间复杂度

四、next数组的构造（重点！）

1. 理解前缀和后缀

对于字符串"ababa"：

真前缀有：“a”, “ab”, “aba”, “abab”
真后缀有：“a”, “ba”, “aba”, “baba”

最长公共前后缀：“aba”，长度为3

2. next数组的手动计算过程

以模式串"ABABCABAA"为例（备注：举例中的字符串下标从1开始）：

步骤分解：

模式串：A B A B C A B A A 索引： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 next: 0 0 1 2 0 1 2 3 1

计算过程详解：

i=1: 子串"A" → 没有真前缀和真后缀 → next[1]=0
i=2: 子串"AB" → 前缀{“A”}，后缀{“B”} → 无公共 → next[2]=0
i=3: 子串"ABA" → 前缀{“A”,“AB”}，后缀{“A”,“BA”} → 最长公共"A" → next[3]=1
i=4: 子串"ABAB" → 前缀{“A”,“AB”,“ABA”}，后缀{“B”,“AB”,“BAB”} → 最长公共"AB" → next[4]=2
i=5: 子串"ABABC" → 无公共前后缀 → next[5]=0
i=6: 子串"ABABCA" → 最长公共"A" → next[6]=1
i=7: 子串"ABABCAB" → 最长公共"AB" → next[7]=2
i=8: 子串"ABABCABA" → 最长公共"ABA" → next[8]=3
i=9: 子串"ABABCABAA" → 最长公共"A" → next[9]=1

3.next数组的构造算法思想

构造next数组的过程本质上是模式串的自我匹配：

初始化：next[1] = 0，设j = 0（j表示当前已匹配的前缀长度）
递推计算：对于i从1到m-1（m为模式串长度）
- 如果p[i+1] == p[j+1]，则j++，next[i+1] = j
- 否则，将j回退到next[j]，继续比较
- 如果j回退到0仍不匹配，则next[i] = 0

关键理解：

j实际上表示当前位置之前的最长匹配前缀的长度
当p[i+1] != p[j+1]时，我们不是从头开始，而是利用已经计算好的next[j]来回退
我们可以把next数组看作一个状态转移函数：
- 当前状态为j（已匹配的长度）
- 如果下一个字符匹配成功，转移到状态j+1
- 如果下一个字符匹配失败，转移到状态next[j]

4. next数组的代码实现

nxt[0]=0;// 边界条件，空字符串的border长度为0nxt[1]=0;// 单个字符没有非自身的border，长度为0// 计算nxt[2]到nxt[len_p]for(inti=1,j=0;i<len_p;i++){// i从1开始，实际计算的是nxt[i+1]，j表示当前已匹配的前缀长度// 当j>0且下一个字符不匹配时，利用已知的next信息回溯jwhile(j>0&&p[i+1]!=p[j+1]){j=nxt[j];// 回溯到前一个可能匹配的位置}// 如果下一个字符匹配，则增加匹配长度if(p[i+1]==p[j+1]){j++;}// 记录当前前缀的最长border长度nxt[i+1]=j;// nxt[i+1] = 前缀p[1...i+1]的最长border长度}

五、KMP匹配过程详解

示例：在文本串中查找模式串（备注：举例中的字符串S和P的下标从1开始）

文本串s: "ABABDABACDABABCABAB" 模式串p: "ABABCABAB" next数组: [0, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 4] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (模式串索引)

匹配过程：

首次失配（位置5）：
```
文本串：ABAB D ... 模式串：ABAB C ... 已匹配：ABAB (j=4) 失配字符：D vs C
```
- 执行j = next[4] = 2
- 模式串滑动：比较文本串的D与模式串的p[3]=A
- 继续失配，j = next[2] = 0
- 最终从模式串开头重新比较

完全匹配（位置11-19）：

文本串位置：11 12 13 14 15 16 17 18 19 文本串字符：A B A B C A B A B 模式串字符：A B A B C A B A B 匹配过程：逐步匹配，j从0增加到9

匹配成功后输出位置：i - len(p) + 2 = 18 - 9 + 2 = 11
继续：j = next[9] = 4，准备可能的重叠匹

KMP匹配的代码实现:

for(inti=0,j=0;i<len_s;i++){// i遍历文本串，j表示当前匹配的模式串长度// 当字符不匹配且j>0时，利用next数组回溯j，避免文本串指针i回退while(j>0&&s[i+1]!=p[j+1]){j=nxt[j];// 模式串向右滑动}// 当前字符匹配，模式串匹配长度加1if(s[i+1]==p[j+1]){j++;}// 如果完全匹配模式串if(j==len_p){// 输出匹配位置：当前文本串位置i+1减去模式串长度再加1// 因为字符串从1开始索引，所以起始位置为 i - len_p + 2printf("%d\n",i-len_p+2);// 继续寻找下一个匹配：将j设为当前匹配串的最长border长度j=nxt[j];}}

研究案例

题目描述

给出两个字符串s 1 s_1s1和s 2 s_2s2，若s 1 s_1s1的区间[ l , r ] [l, r][l,r]子串与s 2 s_2s2完全相同，则称s 2 s_2s2在s 1 s_1s1中出现了，其出现位置为l ll。
现在请你求出s 2 s_2s2在s 1 s_1s1中所有出现的位置。

定义一个字符串s ss的 border 为s ss的一个非s ss本身的子串t tt，满足t tt既是s ss的前缀，又是s ss的后缀。
对于s 2 s_2s2，你还需要求出对于其每个前缀s ′ s's′的最长 bordert ′ t't′的长度。

输入格式

第一行为一个字符串，即为s 1 s_1s1。
第二行为一个字符串，即为s 2 s_2s2。

输出格式

首先输出若干行，每行一个整数，按从小到大的顺序输出s 2 s_2s2在s 1 s_1s1中出现的位置。
最后一行输出∣ s 2 ∣ |s_2|∣s2∣个整数，第i ii个整数表示s 2 s_2s2的长度为i ii的前缀的最长 border 长度。

输入 #1

ABABABC ABA

输出 #1

1 3 0 0 1

说明/提示

样例 1 解释

对于s 2 s_2s2长度为3 33的前缀ABA，字符串A既是其后缀也是其前缀，且是最长的，因此最长 border 长度为1 11。

数据规模与约定

本题采用多测试点捆绑测试，共有 4 个子任务。

Subtask 0（30 points）：∣ s 1 ∣ ≤ 15 |s_1| \leq 15∣s1∣≤15，∣ s 2 ∣ ≤ 5 |s_2| \leq 5∣s2∣≤5。
Subtask 1（40 points）：∣ s 1 ∣ ≤ 10 4 |s_1| \leq 10^4∣s1∣≤104，∣ s 2 ∣ ≤ 10 2 |s_2| \leq 10^2∣s2∣≤102。
Subtask 2（30 points）：无特殊约定。
Subtask 3（0 points）：Hack。

对于全部的测试点，保证1 ≤ ∣ s 1 ∣ , ∣ s 2 ∣ ≤ 10 6 1 \leq |s_1|,|s_2| \leq 10^61≤∣s1∣,∣s2∣≤106，s 1 , s 2 s_1, s_2s1,s2中均只含大写英文字母。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;constintN=1e6+10;// 定义足够大的数组大小，满足题目数据范围chars[N],p[N];// s为文本串，p为模式串，下标从1开始intnxt[N];// next数组，nxt[i]表示模式串前i个字符组成的前缀的最长border长度intmain(){// 输入字符串，从下标1开始存储scanf("%s%s",s+1,p+1);intlen_s=strlen(s+1);// 文本串长度intlen_p=strlen(p+1);// 模式串长度// ---------- 第一部分：计算模式串的next数组（前缀函数） ----------nxt[0]=0;// 边界条件，空字符串的border长度为0nxt[1]=0;// 单个字符没有非自身的border，长度为0// 计算nxt[2]到nxt[len_p]for(inti=1,j=0;i<len_p;i++){// i从1到len_p-1，实际计算的是nxt[i+1]// 当j>0且下一个字符不匹配时，利用已知的next信息回溯jwhile(j>0&&p[i+1]!=p[j+1]){j=nxt[j];// 回溯到前一个可能匹配的位置}// 如果下一个字符匹配，则增加匹配长度if(p[i+1]==p[j+1]){j++;}// 记录当前前缀的最长border长度nxt[i+1]=j;// nxt[i+1] = 前缀p[1...i+1]的最长border长度}// ---------- 第二部分：KMP匹配过程 ----------for(inti=0,j=0;i<len_s;i++){// i遍历文本串，j表示当前匹配的模式串长度// 当字符不匹配且j>0时，利用next数组回溯j，避免文本串指针i回退while(j>0&&s[i+1]!=p[j+1]){j=nxt[j];// 模式串向右滑动}// 当前字符匹配，模式串匹配长度加1if(s[i+1]==p[j+1]){j++;}// 如果完全匹配模式串if(j==len_p){// 输出匹配位置：当前文本串位置i+1减去模式串长度再加1// 因为字符串从1开始索引，所以起始位置为 i - len_p + 2printf("%d\n",i-len_p+2);// 继续寻找下一个匹配：将j设为当前匹配串的最长border长度j=nxt[j];}}// ---------- 第三部分：输出模式串每个前缀的最长border长度 ----------for(inti=1;i<=len_p;i++){printf("%d ",nxt[i]);}return0;}

功能分析

1.算法目标

实现KMP字符串匹配算法，解决两个问题：
a) 找出模式串在文本串中所有出现的位置
b) 计算模式串每个前缀的最长border长度

2.核心数据结构

nxt[]数组：存储模式串的“前缀函数”值，nxt[i]表示子串p[1...i]的最长border长度
- 定义：border是字符串的非本身的前缀，且同时是该字符串的后缀
- 例如："ABA"的最长border是"A"，长度为1

3.算法流程

第一步：预处理模式串（计算next数组）

目的：得到模式串的“自匹配”信息，用于匹配失败时快速跳过不必要的比较
关键操作：
- 初始化nxt[0]=0, nxt[1]=0
- 使用双指针i和j：
  - i：当前正在计算的前缀的结束位置（实际代码中i从1开始，计算nxt[i+1]）
  - j：当前已匹配的前缀长度，也指向下一个待比较字符
- 循环中不断尝试扩展匹配长度，失败时通过j = nxt[j]回溯到更短的匹配前缀
时间复杂度：O(len_p)

第二步：文本串匹配

目的：在文本串中找到所有模式串出现的位置
关键操作：
- 双指针i（文本串指针）和j（模式串匹配长度）
- 不匹配时，j通过nxt数组回溯，i永不回退
- 匹配成功时输出位置，并继续通过nxt[j]寻找下一个可能的匹配
时间复杂度：O(len_s)

4.算法特点

时间复杂度：O(len_s + len_p)，线性复杂度
空间复杂度：O(len_p)，用于存储next数组
核心优势：通过next数组避免文本串指针回退，显著提高效率

5.代码细节说明

字符串存储：从下标1开始存储，方便与next数组下标对齐
边界处理：
- 模式串长度为1时，next数组计算循环不执行，直接使用初始值
- 匹配成功后执行j = nxt[j]，确保不遗漏重叠匹配（如文本串"AAAA"中找模式串"AA"）
位置计算：匹配位置计算公式为i - len_p + 2
- i：当前循环变量（从0开始）
- len_p：模式串长度
- +2：补偿下标从1开始和匹配结束位置到起始位置的转换

6.示例验证

对于输入：

ABABABC ABA

程序执行：

计算next数组：nxt[1]=0, nxt[2]=0, nxt[3]=1
匹配过程：
- 位置1匹配成功（ABA）
- 位置3匹配成功（ABA）
输出：
```
1 3 0 0 1
```

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