乐山市网站建设_网站建设公司_版式布局_seo优化

解决问题 —— 用方程解决复杂应用题专项

一、用方程解决复杂应用题 —— 核心方法论与思维建模体系

（一）题型本质与核心特征深度剖析

用方程解决复杂应用题的核心是“找到等量关系，用字母表示未知量，通过等式建立数学模型”。这类题目通常包含多个数量关系，涉及一个或多个未知量，需通过分析题目中的“和、差、倍、分、比、百分数、几何公式、实际场景规则”等，提炼出不变的等量关系，将文字语言转化为数学方程，进而求解。

关键特征：

• 未知量明确（可直接或间接设未知数）；

• 存在1个或多个可量化的等量关系（解题核心依据）；

• 涉及知识点融合（如“百分数+和差倍”“行程+几何”“实际场景+分数”）；

• 解法具有通用性（设→找→列→解→验五步流程）。

（二）典型例题解构与解题策略精讲

✨题型一：和差倍分问题（基础核心型）

例题1（单一未知数+和倍关系）

学校图书馆买来故事书和科技书共1200本，故事书的本数是科技书的2倍，两种书各买了多少本？

🛠️ 解题方法：“和倍问题方程法”（找和关系+倍数关系，设较小数为未知数）

1. 定未知量：设科技书有x本（较小数为x，简化计算），则故事书有2x本；

2. 找等量关系：故事书本数+科技书本数=总本数；

3. 列方程：x + 2x = 1200；

4. 解方程：3x = 1200 → x = 400，故事书：2x = 800；

5. 检验：400 + 800 = 1200（符合总本数），800÷400=2（符合倍数关系），结果正确。

例题2（两个未知数+差倍关系）

甲、乙两个仓库共存粮480吨，甲仓库的存粮比乙仓库多60吨，甲、乙两个仓库各存粮多少吨？

✅解题步骤：

1. 定未知量：设乙仓库存粮x吨，则甲仓库存粮（x + 60）吨（间接体现差关系）；

2. 找等量关系：甲仓库存粮+乙仓库存粮=总存粮；

3. 列方程：x + (x + 60) = 480；

4. 解方程：2x + 60 = 480 → 2x = 420 → x = 210，甲仓库：210 + 60 = 270；

5. 检验：270 - 210 = 60（符合差关系），270 + 210 = 480（符合总存粮），结果正确。

✨题型二：百分数应用题（提高型）

例题（百分数+总量关系）

某商场搞促销活动，一款空调原价3200元，打八折销售后，仍可获利20%，这款空调的进价是多少元？

🛠️ 解题关键：

明确“折扣价”“进价”“利润率”的关系：折扣价=原价×折扣率，利润=进价×利润率，折扣价=进价+利润（等量关系核心）。

✅解题步骤：

1. 定未知量：设空调的进价为x元；

2. 找等量关系：原价×80% = 进价×(1 + 20%)（折扣价=进价+利润）；

3. 列方程：3200×0.8 = (1 + 0.2)x；

4. 解方程：2560 = 1.2x → x ≈ 2133.33；

5. 检验：进价2133.33元，获利2133.33×20%≈426.67元，售价2133.33+426.67=2560元，3200×0.8=2560元（符合折扣价），结果正确。

🔄 变式例题（百分数+差量关系）

小明看一本故事书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的30%，两天一共看了110页，这本书共有多少页？

✅解题步骤：

1. 定未知量：设这本书共有x页；

2. 找等量关系：第一天看的页数+第二天看的页数=两天总页数；

3. 列方程：25%x + 30%x = 110；

4. 解方程：55%x = 110 → x = 200；

5. 检验：200×25%=50页，200×30%=60页，50+60=110页（符合两天总页数），结果正确。

✨题型三：行程问题（综合型）

例题（相遇问题+路程和）

甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行80千米，经过3小时两车相遇，A、B两地相距多少千米？

🛠️ 解题关键：

相遇问题核心等量关系：甲车行驶路程+乙车行驶路程=总路程（路程=速度×时间）。

✅解题步骤：

1. 定未知量：设A、B两地相距x千米；

2. 找等量关系：甲车路程+乙车路程=总路程；

3. 列方程：60×3 + 80×3 = x；

4. 解方程：180 + 240 = x → x = 420；

5. 检验：甲车3小时行180千米，乙车3小时行240千米，180+240=420千米（符合总路程），结果正确。

🔄 变式例题（追及问题+路程差）

一条环形跑道长400米，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过多少分钟甲能追上乙？

✅解题步骤：

1. 定未知量：设经过x分钟甲追上乙；

2. 找等量关系：甲跑的路程−乙跑的路程=跑道长度（追及时间内，快者比慢者多跑一圈）；

3. 列方程：250x - 200x = 400；

4. 解方程：50x = 400 → x = 8；

5. 检验：8分钟甲跑250×8=2000米，乙跑200×8=1600米，2000-1600=400米（符合跑道长度），结果正确。

✨题型四：几何与实际场景结合（跨模块型）

例题（长方形周长+倍数关系）

一个长方形的周长是48厘米，长是宽的2倍，这个长方形的长和宽各是多少厘米？

🛠️ 解题关键：

先回忆几何公式（长方形周长=（长+宽）×2），再结合倍数关系建立等量。

✅解题步骤：

1. 定未知量：设长方形的宽为x厘米，则长为2x厘米；

2. 找等量关系：（长+宽）×2 = 周长；

3. 列方程：(2x + x)×2 = 48；

4. 解方程：3x×2 = 48 → 6x = 48 → x = 8，长：2x = 16；

5. 检验：（16+8）×2=48厘米（符合周长），16÷8=2（符合倍数关系），结果正确。

（三）核心知识速记 + 应用迁移：学一道会一类

📝 核心知识点速记卡

1. 基本流程：设（未知数）→ 找（等量关系）→ 列（方程）→ 解（方程）→ 验（结果）；

2. 设未知数技巧：

3. 直接设：未知量明确时，直接设问题为x（如“求进价”设进价为x）；

4. 间接设：未知量复杂时，设较小数、中间量为x（如“和倍问题”设较小数为x）；

5. 常见等量关系类型：

6. 和差倍：和=大数+小数，差=大数−小数，倍数=大数÷小数；

7. 百分数：分量=总量×百分率，现价=原价×折扣，利润=进价×利润率；

8. 行程：相遇→路程和=速度和×时间，追及→路程差=速度差×时间；

9. 几何：长方形周长=（长+宽）×2，正方形面积=边长×边长，圆柱体积=底面积×高；

10. 解方程注意：

11. 等式性质：两边同时加、减、乘、除同一个非0数，等式不变；

12. 去括号、移项要变号（如3x + 5 = 14 → 3x = 14 - 5）；

13. 检验核心：

14. 代入原方程，左右两边相等；

15. 符合实际场景（如人数、页数为正整数，长度、价格为正数）。

✂️ 解题口诀“魔法公式”

“未知量，设为x，关键找对等量句；

和差倍分百分数，行程几何记公式；

等式两边同操作，解完一定要检验；

实际意义不能忘，符合题意才正确。”

📐 方程应用题核心要素辨析表

（四）易错坑避坑指南

二、分层进阶专题精练 —— 基础夯实・能力进阶・思维跃迁

（一）基础夯实篇 —— 单一知识点精准落地

题目1（和倍问题）

果园里苹果树和梨树共360棵，苹果树的棵数是梨树的3倍，苹果树和梨树各有多少棵？

题目2（百分数问题）

一件衣服原价280元，打七五折销售，现价是多少元？（用方程解）

题目3（行程相遇）

甲、乙两人分别从相距240千米的两地出发，相向而行，甲每小时行55千米，乙每小时行65千米，经过几小时两人相遇？

题目4（几何问题）

一个正方形的周长是60厘米，它的边长是多少厘米？（用方程解）

题目5（差倍问题）

一个数的3倍比它的2倍多15，这个数是多少？

（二）能力进阶篇 —— 复合知识点综合应用突破

题目1（百分数+和差）

小明有零花钱800元，其中压岁钱占60%，剩下的是零花钱，压岁钱比零花钱多多少元？（用方程先求零花钱，再求差值）

题目2（行程+分阶段）

甲、乙两车从A地开往B地，甲车每小时行70千米，先行2小时后，乙车以每小时90千米的速度出发，乙车经过几小时能追上甲车？

题目3（和倍+百分数）

某工厂男职工和女职工共500人，男职工人数比女职工多20%，男职工和女职工各有多少人？

题目4（几何+实际场景）

一个长方形水池，长是宽的1.5倍，周长是40米，这个水池的占地面积是多少平方米？（用方程先求长和宽）

题目5（百分数+利润）

商店以每件120元的进价购进一批衣服，按25%的利润率定价，再打九折销售，每件衣服的售价是多少元？（用方程解）

（三）思维跃迁篇 —— 跨模块融合 + 隐藏条件挖掘

题目1（方程+分数+行程）

甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车行驶了全程的，乙车行驶了全程的，此时两车相距120千米，A、B两地相距多少千米？（隐藏条件：相遇后继续行驶，路程差=120千米）

题目2（方程+几何+百分数）

一个圆柱形水桶，底面半径是2分米，高是5分米，现在往桶里装水，水面高度是桶高的80%，水的体积是多少立方分米？（π取3.14，用方程先求水面高度）

题目3（多次等量关系+复合）

学校组织植树活动，五年级植树棵数是三年级的2倍，四年级植树棵数比五年级少15棵，三个年级共植树135棵，三年级植树多少棵？（隐藏条件：三个年级棵数和=135）

题目4（方程+实际场景+优化）

某快递公司收费标准：首重1千克以内（含1千克）收费12元，超过1千克的部分，每千克收费8元（不足1千克按1千克算）。小明寄一件快递付费36元，这件快递最多重多少千克？（用方程解，注意实际取值）

三、精准解析与解题范式 —— 思路拆解・步骤规范・验证逻辑

（一）基础夯实篇・解题范式与验证逻辑

题目1

✅ 解题步骤

① 设未知数：设梨树有x棵（较小数），则苹果树有3x棵；

② 找等量关系：苹果树棵数+梨树棵数=总棵数；

③ 列方程：x + 3x = 360；

④ 解方程：4x = 360 → x = 90，苹果树：3x = 270；

⑤ 检验：90 + 270 = 360（符合总棵数），270÷90=3（符合倍数关系），结果正确；

⑥ 答：梨树有90棵，苹果树有270棵。

题目2

✅ 解题步骤

① 设未知数：设现价为x元；

② 找等量关系：现价=原价×折扣（七五折=75%）；

③ 列方程：x = 280×0.75；

④ 解方程：x = 210；

⑤ 检验：280×0.75=210（左右两边相等），现价210元符合实际，结果正确；

⑥ 答：现价是210元。

题目3

✅ 解题步骤

① 设未知数：设经过x小时两人相遇；

② 找等量关系：甲车路程+乙车路程=总路程（速度和×时间=总路程）；

③ 列方程：(55 + 65)x = 240；

④ 解方程：120x = 240 → x = 2；

⑤ 检验：2小时甲车行55×2=110千米，乙车行65×2=130千米，110+130=240千米（符合总路程），结果正确；

⑥ 答：经过2小时两人相遇。

题目4

✅ 解题步骤

① 设未知数：设正方形的边长为x厘米；

② 找等量关系：正方形周长=边长×4；

③ 列方程：4x = 60；

④ 解方程：x = 15；

⑤ 检验：15×4=60厘米（符合周长），边长15厘米为正数，结果正确；

⑥ 答：它的边长是15厘米。

题目5

✅ 解题步骤

① 设未知数：设这个数为x；

② 找等量关系：3倍的数−2倍的数=15；

③ 列方程：3x - 2x = 15；

④ 解方程：x = 15；

⑤ 检验：3×15 - 2×15=45-30=15（左右两边相等），结果正确；

⑥ 答：这个数是15。

（二）能力进阶篇・解题范式与验证逻辑

题目1

✅ 解题步骤

① 设未知数：设小明的零花钱总共有x元（总量），则压岁钱为60%x元，零花钱（剩余）为(1-60%)x元；

② 找等量关系：压岁钱−剩余零花钱=差值；

③ 列方程：60%x - (1-60%)x = 所求差值（先求剩余零花钱）；

④ 先求剩余零花钱：(1-60%)x = 40%x，60%x - 40%x = 20%x；

⑤ 已知总零花钱800元，代入：20%×800=160；

⑥ 检验：压岁钱800×60%=480元，剩余800-480=320元，480-320=160元（符合差值），结果正确；

⑦ 答：压岁钱比零花钱多160元。

题目2

✅ 解题步骤

① 设未知数：设乙车经过x小时追上甲车；

② 找等量关系：甲车先行路程+甲车后续路程=乙车路程（追及问题：路程差=速度差×时间）；

③ 列方程：70×2 + 70x = 90x；

④ 解方程：140 + 70x = 90x → 20x = 140 → x = 7；

⑤ 检验：甲车总路程70×(2+7)=630千米，乙车路程90×7=630千米（路程相等，追上），结果正确；

⑥ 答：乙车经过7小时能追上甲车。

题目3

✅ 解题步骤

① 设未知数：设女职工有x人，则男职工有(1+20%)x人；

② 找等量关系：男职工人数+女职工人数=总人数；

③ 列方程：x + 1.2x = 500；

④ 解方程：2.2x = 500 → x ≈ 227.27（保留整数为227人），男职工：1.2×227≈272.4≈273人；

⑤ 检验：227 + 273=500（符合总人数），273÷227≈1.2（符合20%），结果正确；

⑥ 答：女职工约227人，男职工约273人。

题目4

✅ 解题步骤

① 设未知数：设长方形的宽为x米，则长为1.5x米；

② 找等量关系：（长+宽）×2 = 周长；

③ 列方程：(1.5x + x)×2 = 40；

④ 解方程：2.5x×2 = 40 → 5x = 40 → x = 8，长：1.5×8=12米；

⑤ 求占地面积：长×宽=12×8=96平方米；

⑥ 检验：（12+8）×2=40米（符合周长），面积96平方米为正数，结果正确；

⑦ 答：这个水池的占地面积是96平方米。

题目5

✅ 解题步骤

① 设未知数：设每件衣服的售价为x元；

② 找等量关系：售价=进价×(1+利润率)×折扣（25%利润率，九折=90%）；

③ 列方程：x = 120×(1+0.25)×0.9；

④ 解方程：x = 120×1.25×0.9 = 135；

⑤ 检验：进价120元，获利120×25%=30元，定价150元，打九折150×0.9=135元（符合售价），结果正确；

⑥ 答：每件衣服的售价是135元。

（三）思维跃迁篇・解题范式与验证逻辑

题目1

✅ 解题步骤

① 设未知数：设A、B两地相距x千米；

② 找隐藏等量关系：甲车路程−乙车路程=相距距离（相遇后继续行驶，x > x）；

③ 列方程：x - x = 120；

④ 解方程：x = 120 → x = 600；

⑤ 检验：甲车行驶600×=360千米，乙车行驶600×=240千米，360-240=120千米（符合相距距离），结果正确；

⑥ 答：A、B两地相距600千米。

题目2

✅ 解题步骤

① 设未知数：设水面高度为x分米；

② 找等量关系：水面高度=桶高×80%；

③ 列方程：x = 5×0.8；

④ 解方程：x = 4；

⑤ 求水的体积：圆柱体积=底面积×高=πr²h=3.14×2²×4=50.24立方分米；

⑥ 检验：5×80%=4分米（符合水面高度），体积50.24立方分米为正数，结果正确；

⑦ 答：水的体积是50.24立方分米。

题目3

✅ 解题步骤

① 设未知数：设三年级植树x棵，则五年级植树2x棵，四年级植树(2x - 15)棵；

② 找等量关系：三年级+四年级+五年级=总棵数；

③ 列方程：x + (2x - 15) + 2x = 135；

④ 解方程：5x - 15 = 135 → 5x = 150 → x = 30；

⑤ 检验：三年级30棵，五年级60棵，四年级60-15=45棵，30+45+60=135棵（符合总棵数），结果正确；

⑥ 答：三年级植树30棵。

题目4

✅ 解题步骤

① 设未知数：设这件快递重x千克（x>1，不足1千克按1千克算）；

② 找等量关系：首重费用+超重费用=总费用；

③ 列方程：12 + 8×(x - 1) = 36；

④ 解方程：8×(x - 1) = 24 → x - 1 = 3 → x = 4；

⑤ 检验：4千克快递，首重1千克12元，超重3千克3×8=24元，12+24=36元（符合总费用），x=4是整数，符合“不足1千克按1千克算”，结果正确；

⑥ 答：这件快递最多重4千克。