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信奥赛C++提高组csp-s之欧拉回路（案例实践）

欧拉路径

题目描述

求有向图字典序最小的欧拉路径。

输入格式

第一行两个整数n , m n,mn,m表示有向图的点数和边数。

接下来m mm行每行两个整数u , v u,vu,v表示存在一条u → v u\to vu→v的有向边。

输出格式

如果不存在欧拉路径，输出一行No。

否则输出一行m + 1 m+1m+1个数字，表示字典序最小的欧拉路径。

输入样例1

4 6 1 3 2 1 4 2 3 3 1 2 3 4

输出样例1

1 2 1 3 3 4 2

输入样例2

5 5 1 2 3 5 4 3 3 4 2 3

输出样例2

1 2 3 4 3 5

输入样例3

4 3 1 2 1 3 1 4

输出样例3

No

说明/提示

对于50 % 50\%50%的数据，n , m ≤ 10 3 n,m\leq 10^3n,m≤103。

对于100 % 100\%100%的数据，1 ≤ u , v ≤ n ≤ 10 5 1\leq u,v\leq n\leq 10^51≤u,v≤n≤105，m ≤ 2 × 10 5 m\leq 2\times 10^5m≤2×105。

保证将有向边视为无向边后图连通。

问题分析

• 问题类型：有向图欧拉路径/回路
• 特殊要求：输出字典序最小的路径，不存在则输出"No"
• 图特点：简单有向图，无重边自环
• 数据范围：n≤10^{5，m≤2×10}5

解题思路

1. 统计每个顶点的入度和出度
2. 检查是否存在欧拉路径/回路：
   • 计算起终点数量
   • 验证度数条件
3. 确定起点：
   • 欧拉路径：起点为出度=入度+1的顶点
   • 欧拉回路：起点为最小的有边顶点
4. 使用Hierholzer算法DFS遍历
5. 使用邻接表存储，并排序保证字典序
6. 检查路径长度，确保图连通

代码实现

#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;constintMAXN=100005;// 最大顶点数constintMAXM=200005;// 最大边数intn,m;// 顶点数和边数vector<int>graph[MAXN];// 邻接表存储图intinDegree[MAXN];// 入度数组intoutDegree[MAXN];// 出度数组vector<int>eulerPath;// 存储欧拉路径intcurrentEdgeIndex[MAXN];// 记录每个顶点当前访问到哪条边// 深度优先搜索，寻找欧拉路径voiddfs(intcurrentVertex){// 使用当前边的索引，避免重复检查已访问的边while(currentEdgeIndex[currentVertex]<(int)graph[currentVertex].size()){// 获取下一个要访问的顶点intnextVertex=graph[currentVertex][currentEdgeIndex[currentVertex]];// 移动到下一条边（模拟删除已访问的边）currentEdgeIndex[currentVertex]++;// 递归访问下一个顶点dfs(nextVertex);}// 回溯时记录当前顶点eulerPath.push_back(currentVertex);}intmain(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cin>>n>>m;// 读入边并构建图for(inti=0;i<m;i++){intu,v;cin>>u>>v;graph[u].push_back(v);outDegree[u]++;// 更新出度inDegree[v]++;// 更新入度}// 为了得到字典序最小的路径，对每个顶点的邻接表排序for(inti=1;i<=n;i++){sort(graph[i].begin(),graph[i].end());}// 检查是否存在欧拉路径或回路intstartVertex=1;// 默认起点intstartCount=0;// 出度比入度大1的顶点数量（起点候选）intendCount=0;// 入度比出度大1的顶点数量（终点候选）boolisValid=true;// 是否满足欧拉路径条件for(inti=1;i<=n;i++){intdiff=outDegree[i]-inDegree[i];if(diff==1){// 找到一个可能的起点startCount++;startVertex=i;// 更新起点}elseif(diff==-1){// 找到一个可能的终点endCount++;}elseif(diff!=0){// 不满足欧拉路径条件isValid=false;break;}}// 验证起点和终点数量是否合法if(!isValid||!((startCount==0&&endCount==0)||(startCount==1&&endCount==1))){cout<<"No"<<endl;return0;}// 如果是欧拉回路（所有顶点入度=出度），需要找到最小的有出度的顶点作为起点if(startCount==0){for(inti=1;i<=n;i++){if(outDegree[i]>0){startVertex=i;break;}}}// 从起点开始深度优先搜索dfs(startVertex);// 检查路径长度是否正确（应该是边数+1）if((int)eulerPath.size()!=m+1){cout<<"No"<<endl;return0;}// 输出欧拉路径（注意：路径是逆序存储的，需要反向输出）reverse(eulerPath.begin(),eulerPath.end());for(inti=0;i<(int)eulerPath.size();i++){cout<<eulerPath[i]<<" ";}cout<<endl;return0;}

关键点解释

1. 邻接表优化：使用vector存储邻接表，节省空间
2. 度数验证：严格检查欧拉路径存在的条件
3. 字典序保证：对每个顶点的邻接表排序
4. 防止重复访问：使用currentEdgeIndex数组记录访问进度
5. 连通性检查：通过路径长度验证图是否连通

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