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在稀疏编码任务中，学习稀疏系数是核心步骤之一。传统的L1正则最小二乘问题（L1LS）可以通过多种方式求解，而Feature-Sign Search算法是一种高效的近似优化方法，它通过主动集策略和符号约束，快速求解带L1正则的二次规划问题。

今天我们来深入探讨一个扩展版本的稀疏系数学习函数，它不仅包含标准的L2重构误差和L1稀疏惩罚，还加入了图正则化项（Graph Regularization），用于保留数据在流形结构上的局部相似性，常用于图像表示、聚类等需要保持样本间关系的场景。

问题形式化

给定基矩阵B（L × M）和数据样本x（L × 1），我们为每个样本独立求解稀疏系数s（M × 1），目标函数如下：

[

\min_s \frac{1}{2} |x - B s|^2 + \frac{\alpha}{2} s^T (L_{ii} s + 2 P) + \gamma |s|_1

]

其中：

• 第一项是重构误差。

• 第二项是图正则化项，L是图拉普拉斯矩阵，L(ii)是第i个样本对应的对角元素，P是与邻域系数相关的向量（P = S * L_new，其中L_new是第i行置零后的L列）。

• 第三项是L1范数，促进稀疏性。

当α=0时，该问题退化为经典的L1正则最小二乘（L1LS）。图正则化项鼓励相似的样本拥有相似的稀疏表示。

Feature-Sign Search算法原理

该算法的