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信奥赛C++提高组csp-s之欧拉回路

一、欧拉回路是什么及其作用

欧拉回路定义

• 欧拉回路：从一个顶点出发，经过图中每条边恰好一次，最终回到起点的路径
• 欧拉路径：从一个顶点出发，经过图中每条边恰好一次，最终到达另一个顶点的路径（不要求回到起点）

作用和实际应用

1. 电路板布线：确保每条线路只走一次
2. 邮递员问题：规划最短路线覆盖所有街道
3. DNA测序：片段组装
4. 网络路由：数据包传输优化
5. 游戏设计：一笔画游戏解决方案

二、欧拉回路算法原理

2.1 存在性判断条件

无向图

• 欧拉回路：
  • 所有顶点度数为偶数
  • 图是连通的（忽略孤立点）
• 欧拉路径：
  • 恰好有两个顶点度数为奇数（起点和终点）
  • 图是连通的（忽略孤立点）

有向图

• 欧拉回路：
  • 每个顶点入度等于出度
  • 图是弱连通的（忽略孤立点）
• 欧拉路径：
  • 一个顶点出度=入度+1（起点）
  • 一个顶点入度=出度+1（终点）
  • 其余顶点入度=出度
  • 图是弱连通的（忽略孤立点）

2.2 Hierholzer算法

1. 算法思想：DFS遍历，回溯时记录路径
2. 时间复杂度：O(E)，E为边数
3. 空间复杂度：O(E + V)，V为顶点数

三、研究案例：骑马修栅栏

题目背景

Farmer John 每年有很多栅栏要修理。他总是骑着马穿过每一个栅栏并修复它破损的地方。

题目描述

John 是一个与其他农民一样懒的人。他讨厌骑马，因此从来不两次经过一个栅栏。

John 的农场上一共有m mm个栅栏，每一个栅栏连接两个顶点，顶点用1 11到500 500500标号（虽然有的农场并没有那么多个顶点）。一个顶点上至少连接1 11个栅栏，没有上限。两顶点间可能有多个栅栏。所有栅栏都是连通的（也就是你可以从任意一个栅栏到达另外的所有栅栏）。John 能从任何一个顶点（即两个栅栏的交点）开始骑马，在任意一个顶点结束。

你需要求出输出骑马的路径（用路上依次经过的顶点号码表示)，使每个栅栏都恰好被经过一次。如果存在多组可行的解，按照如下方式进行输出：如果把输出的路径看成是一个500 500500进制的数，那么当存在多组解的情况下，输出500 500500进制表示法中最小的一个 （也就是输出第一位较小的，如果还有多组解，输出第二位较小的，以此类推）。

输入数据保证至少有一个解。

输入格式

第一行一个整数m mm，表示栅栏的数目。

从第二行到第( m + 1 ) (m+1)(m+1)行，每行两个整数u , v u,vu,v，表示有一条栅栏连接u , v u,vu,v两个点。

输出格式

共( m + 1 ) (m+1)(m+1)行，每行一个整数，依次表示路径经过的顶点号。注意数据可能有多组解，但是只有上面题目要求的那一组解是认为正确的。

数据保证至少有一组可行解。

输入样例

9 1 2 2 3 3 4 4 2 4 5 2 5 5 6 5 7 4 6

输出样例

1 2 3 4 2 5 4 6 5 7

说明/提示

对于100 % 100\%100%的数据，1 ≤ m ≤ 1024 , 1 ≤ u , v ≤ 500 1 \leq m \leq 1024,1 \leq u,v \leq 5001≤m≤1024,1≤u,v≤500。

问题分析

• 问题类型：无向图欧拉路径/回路
• 特殊要求：输出字典序最小的路径
• 图特点：多重图（可能有重边）
• 数据范围：顶点数1-500，边数≤1024

解题思路

1. 统计每个顶点的度数
2. 寻找起点：
   • 若有奇数度顶点，选编号最小的作为起点
   • 若全为偶数度，选编号最小的有边顶点作为起点
3. 使用Hierholzer算法DFS遍历
4. 为保证字典序，从小到大遍历邻接点
5. 回溯时记录路径，最后逆序输出

代码实现

#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;constintMAXN=505;// 最大顶点数intgraph[MAXN][MAXN];// 邻接矩阵，存储边的数量（处理重边）intdegree[MAXN];// 存储每个顶点的度数intpath[2048];// 存储欧拉路径，最大长度为边数+1intpathIndex=0;// 路径当前位置// 深度优先搜索，寻找欧拉路径voiddfs(intcurrentVertex){// 遍历所有可能的邻接点（从小到大保证字典序）for(intnextVertex=1;nextVertex<=500;nextVertex++){// 如果当前顶点与邻接点之间有边if(graph[currentVertex][nextVertex]>0){// 删除这条边（两个方向都要删除，因为是无向图）graph[currentVertex][nextVertex]--;graph[nextVertex][currentVertex]--;// 递归访问下一个顶点dfs(nextVertex);}}// 回溯时记录当前顶点到路径中path[++pathIndex]=currentVertex;}intmain(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);intm;// 边数cin>>m;// 读入边并构建图for(inti=0;i<m;i++){intu,v;cin>>u>>v;// 增加边的数量（无向图，两个方向都要增加）graph[u][v]++;graph[v][u]++;// 更新顶点的度数degree[u]++;degree[v]++;}// 寻找起点intstartVertex=1;boolhasOddDegreeVertex=false;// 首先查找是否有奇数度顶点for(inti=1;i<=500;i++){if(degree[i]%2==1){startVertex=i;hasOddDegreeVertex=true;break;}}// 如果没有奇数度顶点，则寻找最小的有边顶点if(!hasOddDegreeVertex){for(inti=1;i<=500;i++){if(degree[i]>0){startVertex=i;break;}}}// 从起点开始深度优先搜索dfs(startVertex);// 输出欧拉路径（注意：路径是逆序存储的，需要反向输出）for(inti=pathIndex;i>=1;i--){cout<<path[i]<<'\n';}return0;}

关键点解释

1. 邻接矩阵：使用二维数组存储边的数量，可以处理重边
2. 度数统计：degree数组记录每个顶点的度数，用于寻找起点
3. 字典序保证：从1到500顺序遍历邻接点，确保先访问编号小的顶点
4. 路径存储：递归回溯时记录顶点，最后逆序输出得到正确顺序

四、总结欧拉回路

算法核心要点

1. 存在性判断：根据图的类型（有向/无向）和度数条件判断
2. 起点选择：
   • 欧拉回路：任意顶点（通常选编号最小的）
   • 欧拉路径：度数为奇数的顶点（无向图）或出度=入度+1的顶点（有向图）
3. 遍历策略：
   • 使用DFS递归或栈迭代
   • 回溯时记录路径
   • 最后逆序输出
4. 字典序处理：对邻接点排序或使用优先队列

注意事项

1. 图连通性：必须验证图是否连通（忽略孤立点）
2. 重边处理：使用计数而非布尔值存储边
3. 性能优化：
   • 使用邻接表处理稀疏图
   • 使用索引避免重复遍历
4. 边界情况：
   • 空图或单点图
   • 多条欧拉路径时保证字典序最小

适用场景

• 需要遍历所有边恰好一次的问题
• 路径规划、电路设计等实际应用
• 图论算法学习的经典案例

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