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2026/1/9 3:07:35
信奥赛C++提高组csp-s之拓扑排序详解
一、拓扑排序基本概念
拓扑排序(Topological Sort)是对有向无环图(DAG)的一种线性排序，使得对于图中的每一条有向边(u, v)，u在排序中总是位于v的前面。
基本性质：
- 只有有向无环图(DAG)才有拓扑排序
- 一个DAG可能有多个拓扑排序结果
- 拓扑排序不唯一
二、拓扑排序算法实现
Kahn算法（基于入度）
算法步骤：
计算所有节点的入度
将所有入度为0的节点加入队列
当队列不为空时：
- 取出队首节点u，加入结果
- 移除u的所有出边，即u的邻接节点v的入度减1
- 如果v的入度变为0，将v加入队列
如果结果包含所有节点，则成功；否则图中存在环
三、研究案例:判环
题目描述
一个图，有n个节点，及m条有向边，判断该图是否有环。
输入格式
第一行两个整数n和m，表示节点数和边数。
接下来m行，每行两个整数u和v，表示一条有向边从u指向v（节点编号从1开始，或者0开始，这里我们假设从1开始）。
输出格式
如果存在环，输出"存在环"，否则输出拓扑排序的结果（任意一种即可）。
数据规模
- 节点数：1 ≤ n ≤10 5 10^5105
- 边数：0 ≤ m ≤10 5 10^5105
输入输出样例
样例1：无环图
输入：
5 5 1 2 1 3 2 4 3 4 4 5输出：
1 2 3 4 5样例2：有环图
输入：
3 3 1 2 2 3 3 1输出：
存在环代码实现：
#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;intn,m;// n: 节点数, m: 边数intmain(){// 输入节点数和边数cin>>n>>m;// 邻接表存储图结构，g[i]存储节点i指向的所有节点vector<vector<int>>g(n+1);// 入度统计数组，d[i]表示节点i的入度（指向该节点的边数）vector<int>d(n+1,0);// 读入所有边并构建图for(inti=1;i<=m;i++){intu,v;cin>>u>>v;// 读入一条从u到v的有向边g[u].push_back(v);// 将v添加到u的邻接表中d[v]++;// v节点的入度增加}queue<int>q;// 用于拓扑排序的队列（存储当前入度为0的节点）vector<int>topo;// 存储拓扑排序结果// 将所有初始入度为0的节点加入队列for(inti=1;i<=n;i++){if(d[i]==0){q.push(i);}}// 拓扑排序核心过程（Kahn算法）while(!q.empty()){intu=q.front();// 取出一个入度为0的节点q.pop();topo.push_back(u);// 加入拓扑序列// 遍历当前节点的所有后继节点for(intv:g[u]){d[v]--;// 移除u->v边，v的入度减1if(d[v]==0){// 如果v的入度变为0q.push(v);// 将v加入队列}}}// 判断是否存在环if(topo.size()!=n){// 拓扑序列长度不足n，说明存在环cout<<"存在环";}else{// 输出拓扑排序结果for(intnode:topo){cout<<node<<" ";}}return0;}功能分析：
该程序实现了有向图环检测与拓扑排序功能，使用经典的Kahn算法：
图表示与初始化：
- 使用邻接表
g存储图结构（空间效率高，适合稀疏图） - 使用入度数组
d记录每个节点的入度值
- 使用邻接表
拓扑排序过程：
- 初始化：将所有入度为0的节点加入队列
- 循环处理：
- 从队列取出节点加入拓扑序列
- 将该节点的所有后继节点入度减1
- 若减1后入度变为0，则加入队列
- 终止条件：队列为空
环检测：
- 拓扑序列长度 = n → 无环，输出拓扑序列
- 拓扑序列长度 < n → 存在环（剩余节点形成环）
算法特性：
- 时间复杂度：O(n+m)（每个节点和边各处理一次）
- 空间复杂度：O(n+m)（存储图结构和辅助数据结构）
- 结果特性：拓扑排序结果不唯一（与入度为0节点的处理顺序有关）
算法原理图解：
样例1：无环图 (5节点) 1 → 2 → 4 → 5 1 → 3 → 4 入度初始化: 节点: 1 2 3 4 5 入度: 0 1 1 2 1 处理过程: 1. 节点1入度0 → 加入队列 2. 处理节点1 → 2、3入度减1 → 2入度0入队，3入度0入队 3. 处理节点2 → 4入度减1(1) → 不入队 4. 处理节点3 → 4入度减1(0) → 入队 5. 处理节点4 → 5入度减1(0) → 入队 6. 处理节点5 结果: [1,2,3,4,5]（或[1,3,2,4,5]）样例2：有环图 (3节点) 1 → 2 → 3 → 1 入度初始化: 节点: 1 2 3 入度: 1 1 1 处理过程: 所有节点入度>0 → 队列始终为空 拓扑序列长度0 ≠ 3 → 存在环四、拓扑排序常见应用场景
- 任务调度：确定任务执行的先后顺序
- 课程安排：解决课程先修关系问题
- 依赖解析：如软件包依赖、编译顺序等
- 死锁检测：通过检测环来判断系统是否会出现死锁
- 关键路径：在AOE网中计算关键路径
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