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🧠 判断题第 4 题

1、📌 题目原文

使用math.h或cmath头文件中的函数，表达式sqrt(4)的结果类型为double。

✅ 判断结果：正确（√）

2、📖 故事讲解：

（1）🧙‍♂️ 数学魔法师 sqrt

在 C++ 王国里，有一位数学魔法师，名字叫：

sqrt

他的任务是：

🔮开平方

（2）🧩 举个最简单的例子

sqrt(4)

数学上我们知道答案是：

2

但 C++ 会问一个问题：

❓“你这个 2，是整数？还是小数？”

3、🧠 关键知识点：

（1）📌sqrt的真实身份

sqrt是数学库函数，它的规则是：

👉不管你传进去的是整数还是小数
👉返回值一定是double（小数）

（2）🧪 小实验

auto x = sqrt(4);

• x的类型：double

• 值是：2.0

即使写成：

int a = sqrt(4);

也是：

• 先得到2.0

• 再转换变成2

4、🧠 记忆口诀

sqrt 爱小数，结果一定 double

🧠 判断题第 5 题

1、📌 题目原文

在杨辉三角形中，第 n 行（从 0 开始计数）的所有数字之和等于2^n。

✅ 判断结果：正确（√）

2、📖 故事讲解：

（1）🔺 神奇的杨辉三角

杨辉三角长这样（从第 0 行开始）：

第0行： 1 第1行： 1 1 第2行： 1 2 1 第3行： 1 3 3 1

（2）🧮 我们来算一算“行的和”

🎉完全符合！

3、🧠 算法 & 数学原理（展开）

📌 为什么一定是 2ⁿ？

杨辉三角每一行，其实是：

(a + b)^n 的展开系数

而：

(a + b)^n

当我们令：

a = 1, b = 1

就变成：

(1 + 1)^n = 2^n

4、🧠 记忆口诀

杨辉第 n 行，加起来的和，是 2的n次方

🧠 判断题第 6 题

1、📌 题目原文

使用二叉堆优化的 Dijkstra 最短路算法，在某些特殊情况下，时间复杂度不如朴素实现的。

✅ 判断结果：正确（√）

2、📖 故事讲解：

（1）🐢 与 🚀 的比赛

我们有两位选手：

• 🐢朴素 Dijkstra

• 🚀堆优化 Dijkstra

（2）大家都以为：

🚀 一定比 🐢 快，对吧？

（3）⚠️不一定！

3、🧠 先说结论

📌工具更高级 ≠ 一定更快

4、🧩 两种 Dijkstra 的对比

（1）🐢 朴素版 Dijkstra

• 每次用for循环找最小

• 时间复杂度：

O(n²)

• 代码简单

• 图很稠密（边很多）时：反而稳

（2）🚀 堆优化 Dijkstra

• 用优先队列（小根堆）

• 理论复杂度：

O((n + m) log n)

• 适合边少的图

（3）⚠️ 为什么“有时更慢”？

在下面情况中：

• 点数很小

• 或边特别多

• 或频繁 push / pop 堆

👉 堆操作反而成了“拖油瓶”

5、🧠 给小学生的口诀

堆是好工具，

使用也要分情况

点数小，边特多

真的就是不适合

🧠 判断题第 7 题

📌 题目原文

n 个不同元素依次入栈的出栈序列数，与将 n 个不同元素划分成若干非空子集的方案数相等。

❌ 判断结果：错误（×）

一、📖 故事讲解：

🧩 第一件事：入栈出栈

有 n 个不同小朋友，按顺序进栈：

1 → 2 → 3 → ... → n

问：
👉 有多少种合法出栈顺序？

答案是一个著名的数：

🎯卡特兰数（Catalan Number）

二、🏰 主角登场：卡特兰数（Catalan Number）

1、🎒 卡特兰数的故事：书包进出游戏

（1）🎮 游戏规则

有n 个不同的小朋友，
他们按顺序排队进一个书包（栈）：

1 → 2 → 3 → ... → n

规则只有两条：

1️⃣ 只能从包口进
2️⃣ 只能从包口出

（2）问：

👉有多少种“合法”的出包顺序？

2、🧠 为什么“不是随便出”？

因为这是一个栈（Stack）：

• 后进去的

• 必须先出来

📌 这就像：

叠盘子 🍽️
最上面的盘子先拿

3、🧩 例子（n = 3）

小朋友是：1、2、3

❌ 不合法的出栈顺序

进：1 2 3 出：1 3 2 ❌

原因：

• 3 在 2 上面

• 不能让 2 先出来

4、✅ 合法的出栈顺序

一共5 种：

1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 2 1

🎉这 5 就是卡特兰数 C₃

5、🧠 卡特兰数“管什么”？

只要你看到这些关键词：

• 栈进栈 / 出栈

• 括号是否匹配

• 左右孩子构成的二叉树

• 先做 / 后做的合法顺序

👉统统是卡特兰数在管

卡特兰数 = 合法情况的数量

6、🧠 最小的几个卡特兰数

🎉 这串数，就是卡特兰数列

三、🏗️ “搭积木”算卡特兰数（递推思想）

1、🧱 故事：搭一座“左右两部分的城堡”

用 n - 1 块积木 ，要搭一个左右两部分的城堡：

• 左边如果用 k 块（k从0开始）

• 右边就用 n−1−k 块

👉 左边有多少种？
👉 右边有多少种？

👉 一共有多少种？

2、🧠 思想来了

左边的可能数 × 右边的可能数
再把所有情况加起来

3、✨ 用一句话说计算方法

Cₙ = C₀×Cₙ₋₁ + C₁×Cₙ₋₂ + C₂×Cₙ₋₃ + ... + Cₙ₋₁×C₀

📌 这叫：递推公式

4、🧸 参考程序：

#include <iostream> using namespace std; int main() { int N; cin >> N; // 用数组保存卡特兰数 // c[i] 表示第 i 个卡特兰数 long long c[35] = {0}; // 基础情况 c[0] = 1; c[1] = 1; // 递推计算卡特兰数 for (int n = 2; n <= N; n++) { for (int i = 0; i < n; i++) { c[n] += c[i] * c[n - 1 - i]; } } // 输出结果 cout << c[N] << endl; return 0; }

四、📐 偷偷告诉你一个“数学快捷公式”

如果你能背的过，考试也可以用这个：

Cₙ = (1 / (n+1)) × 组合数(2n, n)

比如：

C₃ = (1 / 4) × 20 = 5

五、🏫 第二位主角：贝尔数（Bell Number）

1、🎈 贝尔数的故事：分组游戏

🎮 游戏规则

有n 个不同的小朋友，
老师要把他们：

• 分成若干组

• 每一组不能为空

• 不排顺序

问：

👉 一共有多少种不同的分法？

2、🧠 什么叫“不排顺序”？

下面两种：

{小红，小明} | {小刚} {小刚} | {小红，小明}

👉是同一种分法！

🧩 例子（n = 3）

小朋友是：A、B、C

所有分组方法：

1️⃣{A B C}
2️⃣{A}{B C}
3️⃣{B}{A C}
4️⃣{C}{A B}
5️⃣{A}{B}{C}

🎉 一共5 种

👉 这就是贝尔数 B₃

🧠 贝尔数“管什么”？

看到这些关键词，就想到贝尔数：

• 分组

• 划分集合

• 不关心顺序

• 每组不能为空

3、🔺 计算神器登场：贝尔三角形（Bell Triangle）

这是小学生最友好的贝尔数计算方法🌟
不需要懂复杂公式！

🧱 1️⃣ 先搭一个三角形

规则只有 3 条：

规则①

第一行第一个数是 1

1

规则②

每一行的第一个数 = 上一行的最后一个数

规则③

后面的数 = 左边的数 + 左上角的数

✨ 一步一步搭给你看

第 0 行

1

👉 这是B₀ = 1

第 1 行

• 第一个数 = 上一行最后一个 = 1

1 2

👉B₁ = 1

第 2 行

• 第一个数 = 上一行最后一个 = 2

2 3 5

👉B₂ = 2

第 3 行

• 第一个数 = 上一行最后一个 = 5

5 7 10 15

👉B₃ = 5

第 4 行

15 20 27 37 52

👉B₄ = 15

4、🎉 发现规律了吗？

🌟每一行的第一个数，就是贝尔数！

5、📊 贝尔数前几项（记住这张表就赢一半）

六🧠 为什么这个三角形是对的？

1、👨‍👩‍👧‍👦 每一行在干嘛？

• 一行代表：
  👉“当前小朋友加入后”的所有可能变化

• 左上角：
  👉 老方案

• 左边：
  👉 新同学加入某一组的方式

2、不断累加，就把所有可能都算进来了 ✔️

七、✅ 参考程序：（贝尔三角形法）

#include <iostream> #include <vector> using namespace std; int main() { int n; cout << "请输入一个非负整数 n: "; cin >> n; if (n < 0) { cout << "n 必须是非负整数！" << endl; return 0; } // 创建一个二维数组保存贝尔三角形 vector<vector<long long>> bell(n + 1, vector<long long>(n + 1, 0)); // 初始化 bell[0][0] = 1; // B0 = 1 // 构建贝尔三角形 for (int i = 1; i <= n; i++) { // 每行第一个数是上一行最后一个数 bell[i][0] = bell[i-1][i-1]; // 后面的每个数是左上角 + 左边 for (int j = 1; j <= i; j++) { bell[i][j] = bell[i-1][j-1] + bell[i][j-1]; } } cout << n << " 的贝尔数是: " << bell[n][0] << endl; return 0; }

八、🧠 本题回顾（算法）

👉完全不是一类数！

十、🧠 记忆口诀

栈用卡特兰，分组用贝尔数