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5.2 多自由度（五自由度）转子系统建模：考虑平动与转动的耦合模型

在磁悬浮轴承-转子系统的分析与控制中，单自由度或解耦的径向-轴向独立模型仅适用于理想化的简单分析。实际转子作为一个弹性体，其动力学行为表现为多个自由度振动的耦合。一个在空间中被完全约束的刚性转子具有六个自由度：三个平动自由度和三个转动自由度。在磁悬浮轴承应用中，通常允许转子绕其主轴（定义为z轴）自由旋转，这个旋转由驱动电机控制，因此不作为磁轴承悬浮控制的自由度。磁轴承的控制目标在于稳定剩余的五个自由度：两个径向平动（x, y方向）、两个径向倾斜（绕x轴和y轴的摆动，即章动和进动）以及一个轴向平动（z方向）。建立精确的五自由度转子系统耦合模型，是进行高阶控制器设计、动态性能预测以及稳定性分析的基础[1]。本节将系统阐述该模型的建立过程。

5.2.1 物理模型与坐标系定义

首先考虑一个由两个径向磁轴承（AMB_A, AMB_B）和一个轴向（推力）磁轴承（AMB_T）支承的刚性转子。假设两个径向轴承位于转子两端，轴向轴承位于转子一端或中部特定位置。为描述转子运动，建立如下坐标系（见图5.2.1）：

1. 惯性坐标系O-XYZ：固定于基础，原点O通常与转子在平衡位置时的质心重合。Z轴与转子理想的旋转轴线重合，方向根据右手定则确定。
2. 转子连体坐标系C-xyz：原点C固定于转子的质心，随转子一起平动，但其坐标轴方向始终与惯性坐标系O-XYZ平行（即不考虑绕Z轴的转动，该转动是独立的）。因此，转子在惯性空间中的位形完全由质心C的位移向量r_c = [x_c, y_c, z_c]^T 和转子绕通过质心的X、Y轴的微小转角向量θ= [θ_x, θ_y]^T（通常假定为小角度）描述。θ_x代表绕X轴的转角（对应y方向的倾斜），θ_y代表绕Y轴的转角（对应x方向的倾斜）。

定义两个径向轴承位置到转子质心的轴向距离分别为l_A和l_B（设质心C不一定在转子几何中心）。轴向轴承位置到质心的轴向距离为l_T。

5.2.2 转子刚体运动方程

基于牛顿-欧拉方程，分别建立转子质心平动和绕质心转动的运动方程。

1. 平动方程
根据牛顿第二定律，转子质心平动运动方程为：
mr¨c=Fg+FA+FB+FT m \ddot{\mathbf{r}}_c = \mathbf{F}_g + \mathbf{F}_{A} + \mathbf{F}_{B} + \mathbf{F}_{T}mr¨c​=Fg​+FA​+FB​+FT​
其中：

• mmm为转子总质量。
• Fg=[0,0,−mg]T\mathbf{F}_g = [0, 0, -mg]^TFg​=[0,0,−mg]T为重力向量（g为重力加速度）。
• FA=[FAx,FAy,0]T\mathbf{F}_A = [F_{Ax}, F_{Ay}, 0]^TFA​=[FAx​,FAy​,0]T，FB=[FBx,FBy,0]T\mathbf{F}_B = [F_{Bx}, F_{By}, 0]^TFB​=[FBx​,FBy​,0]T分别为轴承A和B处作用于转子的径向力向量（在惯性坐标系X、Y方向的分量）。
• FT=[0,0,FTz]T\mathbf{F}_T = [0, 0, F_{Tz}]^TFT​=[0,0,FTz​]T为轴向轴承作用于转子的轴向力。

2. 转动方程
对于绕质心C的转动，欧拉方程在连体坐标系（其轴与惯性轴平行）下可简化为：
Jω˙+ω×(Jω)=MA+MB+MT \mathbf{J} \dot{\boldsymbol{\omega}} + \boldsymbol{\omega} \times (\mathbf{J} \boldsymbol{\omega}) = \mathbf{M}_A + \mathbf{M}_B + \mathbf{M}_TJω˙+ω×(Jω)=MA​+MB​+MT​
其中：

• ω=[θ˙x,θ˙y,Ω]T\boldsymbol{\omega} = [\dot{\theta}_x, \dot{\theta}_y, \Omega]^Tω=[θ˙x​,θ˙y​,Ω]T为转子的绝对角速度向量，Ω\OmegaΩ为绕Z轴的恒定自转速度。
• J=diag(Jt,Jt,Jp)\mathbf{J} = \text{diag}(J_t, J_t, J_p)J=diag(Jt​,Jt​,Jp​)为转子在质心处的惯性张量（假设对Z轴对称），JtJ_tJt​为横向转动惯量，JpJ_pJp​为极转动惯量。
• MA,MB,MT\mathbf{M}_A, \mathbf{M}_B, \mathbf{M}_TMA​,MB​,MT​分别为各轴承力对质心C的力矩向量。

考虑到控制关心的主要是绕X、Y轴的横向角运动（θx,θy\theta_x, \theta_yθx​,θy​），且通常为小位移小角度假设，我们可以将转动方程在θx,θy,θ˙x,θ˙y\theta_x, \theta_y, \dot{\theta}_x, \dot{\theta}_yθx​,θy​,θ˙x​