专题：圆的扇形面积 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 题型：动点运动 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 难度系数：★★★
【题目】
(2024年湛江二中高一自主招生) 如图，半径为\(2 cm\)的\(⊙O\)与边长为\(2cm\)的正方形\(ABCD\)的边\(AB\)相切于\(E\)，点\(F\)为正方形的中心，直线\(OE\)过\(F\)点．当正方形\(ABCD\)沿直线\(OF\)以每秒\(1 cm\)的速度向左运动 秒时，\(⊙O\)与正方形重叠部分的面积为\(\dfrac{2}{3} π cm^2\)．
【分析】
首先要了解整个运动过程，重点在于重叠部分的图形，注意每次图形变换时动点运动的临界值；情况分为以下几种：
① 正方形\(ABCD\)一开始运动时，重叠部分是个弓形，当点\(A\)，\(B\)落在\(⊙O\)上时，还是个弓形(此时的弓形面积可求出，设\(S_1\))；
② 再往前运动重叠部分就是弓形\(S_1\)加上矩形(长为\(2\))；
③ 再往前运动，正方形\(ABCD\)整体进入了圆内，重叠部分就是正方形，面积为\(4\)；
④ 再往前运动，当点\(C\)，\(D\)还没落在\(⊙O\)上时，重叠部分为弓形加上矩形(长为\(2\))；
其实由于图形的对称性，以点\(F\)在点\(O\)左右两侧分为两部分，它们之间是具有对称性的，重叠部分面积相等；\(⊙O\)与正方形重叠部分的面积为\(\dfrac{2}{3} π cm^2\)，明显存在两种情况。
了解了运动过程中，重叠部分图形以及面积的计算，运动时间也就变得简单了。
故我们先从处于“临界值状态”开始计算。
【解答】
情况1： 如图1中，当点\(A\)，\(B\)落在\(⊙O\)上时，
由题意，\(△AOB\)是边长为\(2\)的等边三角形，\(S_{△AOB}= \dfrac{1}{2} ×OE×AB= \dfrac{1}{2} ×\sqrt3×2=\sqrt3 cm^2\)，
此时\(⊙O\)与正方形重叠部分的面积\(S=S_{扇形OAB}-S_{△AOB}=\dfrac{60^\circπ×4}{360^\circ}-\sqrt3= \dfrac{2}{3} π-\sqrt3 cm^2\)，
此时时间用了\(t=\dfrac{EG}{1}=OG-OE=(2-\sqrt3)÷1=2-\sqrt3\)(秒)，
而实际\(⊙O\)与正方形重叠部分的面积为\(\dfrac{2}{3} πcm^2\)，
即正方形还要往前运动\(\dfrac{2}{3} π-( \dfrac{2}{3} π-\sqrt3)=\sqrt3 cm^2\)，
又要用\(\dfrac{\sqrt3}{2}÷1= \dfrac{\sqrt3}{2}\)(秒)，
故共用了\(2-\sqrt3+\dfrac{\sqrt3}{2}=2-\dfrac{\sqrt3}{2}\)(秒)；
情况2： 如图2中，当点\(C\)，\(D\)落在\(⊙O\)上时，
由题意，\(△OCD\)是边长为\(2\)的等边三角形，
由于对称性，由情况1分析可得此时\(⊙O\)与正方形重叠部分的面积\(S= \dfrac{2}{3} π-\sqrt3 cm^2\)，
此时时间用了\(t=\dfrac{EE'}{1}=EE'=EG+GE'=\sqrt{3}+4\)(秒)，
而实际\(⊙O\)与正方形重叠部分的面积为\(\dfrac{2}{3} πcm^2\)，
即正方形还要往后运动\(\dfrac{2}{3} π-( \dfrac{2}{3} π-\sqrt3)=\sqrt3 cm^2\)，
又要用\(\dfrac{\sqrt3}{2}÷1=\dfrac{\sqrt3}{2}\)(秒)，
故共用了\(\sqrt3+4-\dfrac{\sqrt3}{2}=4+\dfrac{\sqrt3}{2}\)(秒)；
综上所述，满足条件的\(t\)的值为\(2-\dfrac{\sqrt3}{2}\)秒或\(4+\dfrac{\sqrt3}{2}\)秒．
故答案为\(2-\dfrac{\sqrt3}{2}\)或\(4+\dfrac{\sqrt3}{2}\)．
(其实由于对称性，它们遇到关于点\(O\)对称的两种状态时，所花的运动时间之和为定值，
即\(\dfrac{EE'}{1}=EE'=4+2=6s\))
