专题：解方程 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 题型：数形结合 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 难度系数：★★
【题目】
（2013年湛江一中自主招生） 已知关于\(x\)的方程为\(\dfrac{1}{|x|} +x^2=2x+ \dfrac{3|x|}{x}\)，则该方程实数解的个数是（ ）
A．1 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．2 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．3 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．4
【分析】
方程有两个特点，一是含有绝对值，较容易想到利用\(|x|=\left\{ \begin{array}{c} x, x≥0\\ -x,x<0 \end{array} \right. \)进行分类讨论去掉绝对值；
二是含有分母，那自然想到去分母，但会遇到困难，比如\(x>0\)时，方程化为\(\dfrac{1}{x} +x^2=2x+3\)，去分母后得到\(x^3-2x^2-3x+1=0\)，这是个一元三次方程，初中没学过，也可尝试利用因式分解把方程求解出来，但由于题目只问到方程解的个数，应该不会是这个思路；
若我们细心观察方程\(\dfrac{1}{x} +x^2=2x+3\)可化为\(\dfrac{1}{x} =-x^2+2x+3\)，那方程解的个数就是\(y= \dfrac{1}{x}\)和\(y=-x^2+2x+3\)的图象交点个数.此时思路就打通了.
【解答】
(1)当\(x>0\)时，方程\(\dfrac{1}{|x|} +x^2=2x+ \dfrac{3|x|}{x}\)可化为：\(\dfrac{1}{x} +x^2=2x+3\)，，即\(\dfrac{1}{x} =-x^2+2x+3\)，
由\(y= \dfrac{1}{x}\)和\(y=-x^2+2x+3\)的图象在\(x>0\)时有两个交点，
(这里充分体现了方程与函数思想、数形结合思想)
可得当\(x>0\)时，\(\dfrac{1}{x} =-x^2+2x+3\)有两个解，即方程\(\dfrac{1}{|x|} +x^2=2x+ \dfrac{3|x|}{x}\)有两个解，
(2) 当\(x<0\)时，方程\(\dfrac{1}{|x|} +x^2=2x+ \dfrac{3|x|}{x}\)可化为：\(- \dfrac{1}{x} +x^2=2x-3\)，即\(\dfrac{1}{x} =x^2-2x+3\)，
由\(y= \dfrac{1}{x}\)和\(y=x^2-2x+3\)的图象在\(x<0\)时没有交点，
可得当\(x<0\)时，\(\dfrac{1}{x} =x^2-2x+3\)无解，即方程\(\dfrac{1}{|x|} +x^2=2x+ \dfrac{3|x|}{x}\)无解，
综上所述方程\(\dfrac{1}{|x|} +x^2=2x+ \dfrac{3|x|}{x}\)有两个解，
故选：\(B\)．