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【强化学习】第六章：无模型控制：在轨MC控制、在轨时序差分学习(Sarsa)、离轨学习(Q-learning)

说明：从强化学习知识框架上看，本篇承接无模型评估篇：https://blog.csdn.net/friday1203/article/details/156023792?spm=1001.2014.3001.5501
但是，从知识点上看，本篇是承接前五章的所有重点和难点！所以你前面知识点必须非常熟悉，本篇才能顺水推舟的理解了。尽管本篇我已经尽力回溯之前的知识点，但你还是得没有逻辑断点，才能看懂本篇。

一、梳理本章在强化学习中的位置

1、从第四篇的策略迭代算法流程中，我们知道强化学习的基本框架是：要先进行评估，评估完后再进行策略改进。所以第五篇我们讲了无模型评估(也叫预测)，本篇开讲无模型控制(也就是策略改进、优化)。

也所以，本篇的在轨MC控制、在轨算法:Sarsa、离轨算法:Sarsa(λ)和Q-learning，这些算法的最终目标都是求最优策略的。那现实生活中哪些问题会用到本篇的算法呢？比如：

2、本篇是DeepMind流派，或者说是强化学习鼻祖Rich Sutton和Andew Barto出版的强化学习那本书里的理论部分的最后一讲。所以本篇学完以后，你就可以把这些理论框架应用到实践过程中了。

3、本篇之后我们开讲OpenAI流派，也就是深度强化学习。比如，DQN(深度Q网络,Deep Q-Network)，就是将卷积神经网络(CNN)与Q-Learning相结合，用CNN来逼近Q函数。DQN就是2013年玩Atari游戏的那个算法。后面很多算法也是基于DQN的扩展。

二、在轨学习、离轨学习

上面的在轨离轨概念是鲁鹏老师课件中的截图。鲁鹏老师的解释是：
在轨：就是自己边打边学，通过自己打游戏，积攒经验提升自己的策略。
离轨：就是看别人打游戏，然后通过别人的经验来提升自己的策略。

其实，我个人认为，在轨就是在策略Π下，打出一些序列s1,a1,r1,s2,a2,r2...，然后通过这些序列计算价值->贪婪化提升策略。意思就是序列s1,a1,r1,s2,a2,r2...是策略Π下的序列。通过学习序列s1,a1,r1,s2,a2,r2...得到的经验提升，叫在轨学习。而离轨学习指，从不同的策略Π下的、序列s1,a1,r1,s2,a2,r2...，序列s1',a1',r1',s2',a2',r2'...，中学习，得到的经验提升，叫离轨学习。

因为在不同策略Π下，计算得到的"价值"是不同的，而我们的"策略"又是以“价值”为依据的。也所以传统的强化学习范式是：
获得策略Π下的序列-->计算价值(状态价值或者动作价值或者状态动作价值)-->依据价值贪婪化(或者ε-greedy，也就是利用和探索)提升策略-->得到最优策略，done！

所以在轨离轨指的就是我们学习的数据序列，是同一个Π，还是不同的Π，下的序列数据。所以学习不同Π下的序列数据，叫离轨学习。学习同一个Π下的序列数据，叫在轨学习。后面会不断出现这对儿概念，这里理解不了，后面再继续理解。

三、在轨蒙特卡罗控制(On-Policy Monte-Carlo Learning)

1、基于动作价值函数的无模型策略迭代：蒙特卡洛控制
这是一个通用的无模型策略控制方法，下面我先把相关内容整理出来，再逐一解释：

（1）有模型的场景，我们根据上图A来提升策略的，也就是DP算法。在DP算法中v和q直接是有概率连接的，我们通过v就可以求出q，有了q就可以更新策略了。但是现在是无模型场景，我们得不到状态转移矩阵了，所以我们得用B来提升策略。B是直接用动作价值函数，贪婪化的提升策略。

（2）那B处的动作价值函数怎么取得？假如我们用第五篇章学的MC学习方法，那就是上图C处，我们直接算的是(s,a)对儿的价值，也就是动作价值函数的价值值。也所以上图的控制过程我们也叫蒙特卡罗控制。

（3）那B处的贪婪化提升策略，又是如何做的？此时B处就不能再用单纯的贪婪提升策略了，得用ε-greedy策略来提升。为什么？因为单纯的贪婪化是不行的，你不能就试了几次，就把这几次的经验当成永久不变的定律，环境变了，经验也得跟着变，所以在贪婪化利用的同时还得探索，也就是：ε-greedy算法。就是除了贪婪利用还得探索，ε-greedy算法就是利用与探索。其实特别好理解，不理解的同学参考老虎机问题： https://blog.csdn.net/friday1203/article/details/155787017?spm=1001.2014.3001.5501

（4）上图4处是数学证明，证明用ε-greedy算法获得的策略，比单纯用贪婪算法获得的策略更优。

（5）因为上图的策略迭代过程中的价值评估是用MC来做的，所以上图用的数据是一条条完整的幕，也就是数据是需要一条条完整的序列，而不是序列片段。也就是说如果你的数据不完整，那是没法用上述方法来做的。

同时从数据的另外一个角度说，上面的策略迭代是在轨学习，不是离轨学习。也就是数据来自同一个Π的，数据来自不同的Π，是离轨蒙特卡洛控制，而离轨MC控制是另外一种算法，离轨MC目前只是理论上有意义，实际中我们一般不用它，而且还涉及到重要性采样等操作。

2、GLIE的蒙特卡罗控制
上面小标题1的策略迭代流程也叫蒙特卡洛控制。虽然蒙特卡洛控制在迭代过程中，策略能收敛，但是这个收敛的策略是否是最优的策略呢？当系统的随机性非常大时，这个收敛的策略就不一定是最优策略了。就是这个策略虽然是收敛的，但不一定是最优的。那什么情况下才是收敛到最优策略呢？如下左图所示，要满足GLIE条件的MC控制，收敛后的策略才是最优策略：

（1）什么是GLIE条件？
A处表示所有的(s,a)对儿要被探索无数次;B处表示在被探索了无数次后得到的策略趋同于贪婪策略。
条件A+条件B，叫GLIE条件。满足GLIE条件的MC控制是一定可以收敛到最优策略的。

（2）从前面的知识点我们可以知道：ε-greedy的利用和探索，得到的策略，比单纯用贪婪算法获得的策略更优。但是你如果想找到最优的策略，一是，你得满足GLIE条件。二是，你用ε-greedy算法迭代策略时，ε的设置就不能再是一个一成不变的超参数了，ε得随着探索次数逐步递减，如上图E处的例子，ε=1/k，表示ε随着探索次数k的增加而减小。这样的策略迭代过程叫GLIE的蒙特卡洛控制，具体迭代过程就是上图的C处。策略收敛到最优策略的过程就是上图D处。

其实，GLIE的蒙特卡洛控制也不难理解。你想，ε-greedy算法中的ε是等于一个固定值的超参数，也就是每次打游戏时，agent都以固定的ε概率来探索和利用。当游戏中的(s,a)对儿都已经被探索了无数次了，此时就已经非常清楚(s,a)对儿中什么动作是最优的，那我们干嘛还要继续以概率ε来探索呢，探索就意味着可能好也可能坏，当我们已经知道如何action就是好的，那就往好的action上做才能获取最多的奖励，为什么还要以牺牲奖励为代价去冒险探索呢？！所以随着k趋向无穷大，最优的策略就是逐渐减少探索。所以ε要随着k增加而逐渐减少，才能获取最多的奖励，此时对应的策略就是最优策略。

（3）小结：GLIE的蒙特卡罗控制就是：
一是，动作价值函数的计算使用MC学习方法。也就是计算(s,a)对儿的价值时，用MC方法来计算。
二是，在用ε-greedy算法进行策略迭代时，把ε设置成一个自适应的动态参数。类似梯度下降优化算法中的学习率的设置是一个道理。说着说如果ε设置的是一个固定值，策略也是可以收敛的，但是一般是不会收敛到最优策略。如果ε被设置的是一个逐渐变小的更新值，策略是可以收敛到最优策略的。

下面我们要学Sarsa，Sarsa中的ε是不进行更新的。这里的ε是要更新的。这是最大的区别。

三是，蒙特卡洛学习分在轨和离轨两种，这里讲的是在轨蒙特卡洛。离轨蒙特卡洛是另外一种版本，只有理论意义实际中基本不用。

四、在轨策略时序差分学习(On-Policy Temporal-Difference Learning)：Sarsa

1、Sarsa简介
（1）要理解Sarsa，你先要理解贝尔曼期望方程、贝尔曼最优方程-->然后理解DP(DP是解决完备的MDP问题的)-->从DP去理解TD(TD就是DP的思想来解决非完备MDP问题的，也就是解决无模型强化学习问题的，其底层和DP一样都是贝尔曼期望方程)-->然后从TD的逻辑再来理解Sarsa，你就会发现DP-TD-Sarsa，它们是一脉相承的一族算法，其最底层都是贝尔曼方程。

（2）在轨策略时序差分学习和MC控制一样，第一步都是求动作价值函数，时序差分控制也是第一步求动作价值函数，只不过求动作价值函数用的是TD学习方法，而MC控制用的是MC学习方法。

（3）MC控制适用于完整的回合制数据场景。如果数据不完整，比如游戏没有终止状态的场景，那就得用时序差分学习了。所以DP-TD-Sarsa都适用于没有终止情况的博弈。

2、使用Sarsa更新动作价值函数

（1）Sarsa方法其实就是TD方法，上图绿线左边是第五章讲的TD，绿线右边是本部分要讲的Sarsa。之所以叫Sarsa是因为和TD一样，都是利用s,a,r,s,a,r....序列片段就可以计算了。所以sarsa就是序列片段的意思。

（2）右边只不过是把计算价值函数(TD)变成计算动作价值函数(Sarsa)而已，二者计算方法一模一样！具体过程是：

a. 先初始化一组价值，比如初始化Q(s,a)=0。
b. 当一个序列片段s1,a1,r1,s2,a2,r2,,,打完后，通过这个序列片段写出新Q(s,a)的更新式。
c. 利用Q(s,a)=0，更新Q(s,a)，Q(s,a)->Q(s',a')
d. 用Q(s',a')和Q(s,a)之间的差分，更新动作价值值，直到Q收敛。
e. Q收敛后，就开始策略提升。策略提升用ε-greedy算法即可。

这个过程中最典型的特点就是自举。DP-TD-Sarsa的迭代过程都是自举的过程。

3、Sarsa算法的伪代码

（1）上面迭代过程中用的是ε-greedy，这里的ε是一个固定超参，是不变的。这是有别于MC控制的。

（2）Sarsa是边打边算Q(s,a)、边ε-greedy地提升策略的。假如初始化Q(s0,a0)=0，agent打了一步游戏-->产生一个(s1,a1),s',r序列片段-->此时就用这个片段中的r更新了Q(s1,a1),同时策略Π也更新成：P(a=a1|s1)=1-ε、P(a=其他动作|s1)=1-ε。然后根据新策略，继续打下一步游戏，打完下一步，同理更新Q\Π-->在更新了的Q\Π下，继续打下下步，如此循环直到策略收敛。

（3）Sarsa最后得到的收敛的策略，一般不是最优策略。因为Sarsa一般都是用于没有终止的游戏，或者说用于比较复杂的游戏，所以Sarsa除了利用，得用一个固定的ε来探索。正是因为这个ε概率的探索，导致Sarsa最后得到的收敛的策略一般不会是最优策略，一般是一个局部的最优策略，全局上看不一定是最优的。

五、离轨学习(Off-Policy Learning)之 ：Sarsa(λ)

前面的MC控制和Sarsa都是在轨学习。这里开讲离轨学习，也是本篇的重点。本部分如果你看不懂，先请深入理解一下老虎机问题中的利用和探索：https://blog.csdn.net/friday1203/article/details/155787017?spm=1001.2014.3001.5501

1、离轨学习

其实本篇一开始就讲过在轨学习和离轨学习，这对儿概念乍一看，很多人都会很懵。现在我们已经有了更多的基础，再来理解一遍这对儿概念。

（1）在轨学习是在同一个策略Π下，实际打出一系列s,a,r,序列，然后从这些序列中学习和提升策略，逐渐从小白变高手。

（2）离轨学习是从别人打的序列s,a,r中学习和提升自己的策略。就是别人打的s,a,r序列是人家自己的策略下打的序列，我们要从别人的经验中学习和提升自己，从而变成高手，这就是离轨学习。Q-learning是离轨学习的典型算法之一。

（3）目标策略、行为策略
离轨学习中的策略分：目标策略和行为策略

你可以把目标策略理解为agent贪婪化利用得到的策略。行为策略看成是探索得到的策略。

既然目标策略是"agent贪婪化利用得到的策略",那目标策略肯定是agent根据自己的策略、打出来的游戏序列、从中找到的最优策略，也叫agent自己学习的经验。

既然行为策略是"探索得到的策略",那行为策略就可以是agent自己经验，也可以是别人的经验。

这么一转弯，事情就升华了。那岂不是agent可以不用自己打游戏、总结经验，从小白变高手;而是可以从别人打的游戏序列中，学习经验，从小白变高手！对！这就是离轨学习的强大之处！比如我们要训练一个打游戏机器人，不一定非得要亲自打很多次游戏，得到游戏数据，然后总结经验，从小白变高手。而是我们可以直接拿来别人打的游戏数据，把这个数据当作是我们自己的"探索"的数据，从中学习策略，从而也达到高手的效果。

2、Sarsa(λ)原理
Sarsa(λ)可以类比TD(λ)：https://blog.csdn.net/friday1203/article/details/156023792?spm=1001.2014.3001.5501
Sarsa(λ)也叫Sarsa算法的λ版本。
Sarsa(λ)和Sarsa算法的流程是一样的，只是计算Gt时用的时TD(λ)方法，其他都一样。
所以这里就不展开讲了，大家可以拼接拼接前面的相关知识点自己探索。这里只是为了知识框架的完整性，点到为止。

六、离轨学习(Off-Policy Learning)之 ：Q学习(Q-learning)

1、Q-learning算法原理
Q-learning是离轨学习的典型算法之一。当年谷歌的DQN算法的渊源就是Q-learning算法。DQN是Deep Q-Network，是将Q-Learning和卷积神经网络(CNN)相结合的算法。DQN是当年玩Atari游戏超越人类而火出圈的那个算法，也是离轨学习算法。
下面我们详细看看Q-learning算法：

（1）A处：Q学习指的是算法是如何计算价值的。

一是，Q-learning算法计算的是动作价值函数，不是状态价值。就是说Q-learning算法也是用于无模型场景的，不知道状态转移矩阵的场景，所以Q-learning计算的也是(s,a)对儿。
二是，Q学习计算动作价值函数时，也是通过迭代完成的，上图A处是迭代过程。从A处可见，Q学习是用差分迭代的。从这个角度看，Q学习和TD、Sarsa的迭代方式是一样的。
三是，A处的红色部分，也就是Gt的计算方法。从这部分看，Q学习计算Gt和DP、TD、Sarsa的方式也是一样的。

（2）B处、C处、D处、E处：这是Q学习的离轨控制方法。
离轨控制就是策略控制，也叫策略迭代，也叫策略提升，也是小白变高手的过程。

DP的策略控制仅仅需要贪婪化提升即可。

TD控制其实就是Sarsa算法。 Sarsa算法是以1-ε的概率进行贪婪化利用，以ε的概率进行探索。其中ε从始自终都是一个固定不变的、0-1之间的、一个超参数。 最重要的是Sarsa算法中的利用和探索都是在轨的，就是都是自己打游戏，从自己打的游戏序列中提取策略的。

Sarsa是在轨控制，Q-learning和Sarsa最大的区别就是，Q-learning是离轨控制。
上图B处是Q-learning的利用，就是在策略Π下贪婪化的寻找最大的(s,a)对儿。上图的C处是Q-learning从别人打的序列中，偷窥别人这么玩获得多少系统奖励。上图D处是Q-learning对比自己B处的奖励和别人C处的奖励：
如果自己最大的(s,a)对儿获得的奖励大于别人的(s,a')对儿获得的奖励，那么就用自己的(s,a)对儿作为最优策略。
如果自己最大的(s,a)对儿获得的奖励小于别人的(s,a')对儿获得的奖励，那么就用别人的(s,a')对儿作为最优策略。

所以如果说Sarsa是自己在不断的利用和探索，从而变成高手的。那Q-learning就是把"自己的利用"和"别人的探索"通过贝尔曼最优方程整合到一起，从而变成高手的。也所以上图D处其实就是贝尔曼最优方程的形式。也所以上图E处就是Q-learning的贝尔曼最优方程的迭代过程。

（3）上图4处：Sarsa是无法收敛到最优策略的，但是Q-learning是可以收敛到最优策略的。这个结论后面还会继续展开说明。

3、Q-learning算法伪代码
如果上面的原理部分你还没看懂，那继续参考下面的代码，我再讲解一遍：

（1）左边是Sarsa算法的代码。右边是Q-learning算法的代码。

（2）Sarsa是每打一步游戏，在开打的这一步前，就开始分“利用”和“探索”，它是以1-ε的概率进行利用，以ε的概率进行探索：
如果它实际上是利用，那它就是对其以往的策略进行贪婪化提升，然后计算提升后的策略下的动作状态价值，然后以新的动作状态价值指导下一步动作。
如果它实际上是探索，那它就不按以往的策略，而是主打选择相反的动作，并且实际做出这个动作，状态转移、获得系统奖励->然后计算前面动作的价值，更新策略->新策略指导下一步动作。

（3）Q-learning是每打一步游戏，它就直接开始利用自己的以往经验，也就是从以往策略中贪婪化的选出最优策略，按照这个最优策略来执行动作a，状态转移、获得系统奖励->然后再回看别人做了a'动作后，人家的新状态和系统奖励->然后对比自己的奖励和别人的奖励：
如果自己的奖励大于别人的奖励，按照自己策略，重新计算价值，指导下一步动作。
如果自己的奖励小于别人的奖励，修改自己的策略，重新计算价值，指导下一步动作。

4、Sarsa和Q-learning的效果对比
如果上面的原理和伪代码你也还是不理解，下面再通过一个实际例子继续理解：

（1）上左图是一个小游戏。假如agent从S格开始上下左右4个方向随机走，走到G格子就赢了游戏。每次只能走1格。每走1步系统奖励-1分。如果碰到左、右、上面的墙壁，就还在原格子并且系统给予-1分的惩罚。如果碰到下面的cliff(悬崖)，系统给与-100分惩罚，结束游戏。其实对于Sarsa和Q-learning算法来说，结束不结束无所谓，你可以看作是重新从S格子出发就行。

（2）上图中的红色线路是Q-learning算法最后收敛到的最优策略对应的线路，我们叫optimal path，也叫走近路。
上图中的黄色线路是Sarsa算法最后收敛到的策略对应的线路，我们叫safe path，也叫走安全的远路。因为越接近悬崖，只要一次走错，就摔入悬崖，game over了。
（3）上中图是Sarsa和Q-learning两个算法对应的收益，也就是系统奖励。可见，使用Sarsa算法玩这个游戏获得的奖励要稳定得高于Q-learning。

（4）为什么Sarsa走远路，Q-learning走近路？Sarsa奖励多，Q-learning奖励少？
因为Sarsa在每走一步之前，都要以ε的概率进行探索的。假如它目前在紧挨着悬崖的那一排格子中，一旦它真的开始探索，也就有极大的概率摔下悬崖而获取-100的奖励。假如它真的摔下悬崖得-100，那此时它计算出的悬崖边上的格子的价值就会非常低。我们策略提升的时候，都是贪婪化的寻找价值最高的格子走，因为价值高的格子意味着系统奖励多嘛，所以Sarsa的策略就提升为往高处走。所以Sarsa的策略收敛后，它走的就是最高的线路，也就是上图的safe path，也所以Sarsa获得系统奖励要多一些。

反观Q-learning，Q-learning只根据自己的经验走，假如Q-learning也是走到紧挨着悬崖的那一排格子中，对于Q-learning来说，上下左右都是一样的，

假如它上或左或右，就是没有下，这样上、左、右格子的奖励都是-1分，此时Q-learning还得看看别人的动作，假如它看到有人做了"下"的动作，获得了-100分，那Q-learning一对比，自己的动作是-1分，别人是-100分，那就以后还是相信自己的动作好了。假如Q-learning自己向下了，它获得了-100分，那看到别人左右上都是-1分，那它会直接用别人的策略，用-1分来重新计算所有格子的价值，来提升自己的策略。所以Q-learning策略收敛后，远离悬崖的格子的价值其实和靠近悬崖的格子的价值相差无几，所以它就收敛到最短的路径上。

5、用代码实现一下上面的小游戏

待续。。。

七、总结¶

本篇完。传统强化学习到此结束。后面开启深度强化学习。