检验数学水平。
前面忘了中间忘了，我们直接快进到将问题转化为每次随机加一个 \([0, 1]\) 的数加 \(2n\) 次，问最后距离 \(n\) 的期望。
容斥得到，考虑终点 \(< x\) 的概率，那么终点 \(> 2n - x\) 的概率本质一样，则有 \(f(x) = \sum_{i = 0}^{x} \binom{2n}{i} (-1)^i \frac{(x - i)^{2n}}{(2n)!}\)。
那么我们只考虑 \(< n\) 的部分，给答案乘个 \(2\) 即可，我们要算：
\[\int_{0}^n f(x) \mathrm{d}x
\]
给每一部分算个积分，积分大受子一下就变成：
\[\frac{1}{(2n)!} \sum_{i = 0}^{n - 1} \binom{2n}{i} (-1)^i \frac{(n - i)^{2n + 1}}{2n + 1}
\]
直接算即可。
你别急，为啥我们的容斥系数是这个东西。
为啥无限套无限还能算，这有什么科学依据吗？
有的兄弟有的，我们将每个随机变量看成 \(n\) 维多面体的一维， 整个正 \(n\) 维题总体积为 \(1\)，构造出来这个就是用面去截这个多面体的体积，那么你传统容斥对吧，容斥一些位置 \(\ge 1\)，与是你发现这个时候你把上界干掉了，相当于这个多维面体已经没有上界了，那么相当于能截的地方也是一个体积，可以归纳积分一下。
那你既然可以积分，为什么还要容斥呢？我也不知道，猜测可能是因为只有在 \(1\) 取不到的时候才能积分，容斥有几个取到 \(1\)。
其实这种积分大受子题我也不会做，只是把联考讲的题补了，顺便学习一下这个容斥思路，太吃数学了。