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前缀和与差分的核心思想是预处理，可以在暴力枚举的过程中，快速给出查询的结果，从而优化时间复杂度。是经典的用空间替换时间的做法。

一、一维前缀和

快速求出数组中，某一段区间的和

1.先预处理出一个前缀和数组

①f [ i ] 表示：区间 [ 1 ，i ] 中所有元素的和

②计算公式：f [ i ] = f [ i - 1 ] + a [ i ]

2.利用前缀和数组

f [ l , r ] = f [ r ] - f [ l - 1 ]

【模板】静态区间和（前缀和）_牛客题霸_牛客网

描述

对于给定的长度为 nn 的数组 {a1,a2,…,an}{a1​,a2​,…,an​} ，你需要构建一个能够维护区间和信息的数据结构，使得其能支持：
∙ ∙ 区间和查询：输出 [l,r][l,r] 这个区间中的元素之和，即 ∑i=lrai∑i=lr​ai​ 。

输入描述：

第一行输入两个整数 n,q(1≦n,q≦106)n,q(1≦n,q≦106) 代表数组中的元素数量、操作次数。
第二行输入 nn 个整数 a1,a2,…,an(−109≦ai≦109)a1​,a2​,…,an​(−109≦ai​≦109) 代表初始数组。
此后 qq 行，每行输入两个整数 l,r(1≦l≦r≦n)l,r(1≦l≦r≦n) 代表区间和查询。

输出描述：

对于每一次询问，输出一行一个整数代表区间和。

示例1

输入：

3 2 1 2 4 1 2 2 3

输出：

3 6

#include <iostream> using namespace std; typedef long long LL; LL arr[1000000]; LL f[1000000];//前缀和数组 int main() { LL n,q; cin>>n>>q; int i=0; for(i=1;i<=n;i++) cin>>arr[i]; //处理前缀和数组 for(i=1;i<=n;i++) f[i]=f[i-1]+arr[i]; //处理q次询问 while(q--) { LL left,right; cin>>left>>right; cout<<f[right]-f[left-1]<<endl; } return 0; }

P1115 最大子段和 - 洛谷

题目描述

给出一个长度为 n 的序列 a，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。

输入格式

第一行是一个整数，表示序列的长度 n。

第二行有 n 个整数，第 i 个整数表示序列的第 i 个数字 ai​。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

输入输出样例

输入 #1复制

7 2 -4 3 -1 2 -4 3

输出 #1复制

4

说明/提示

样例 1 解释

选取 [3,5] 子段 {3,−1,2}，其和为 4。

数据规模与约定

• 对于 40% 的数据，保证 n≤2×103。
• 对于 100% 的数据，保证 1≤n≤2×105，−104≤ai​≤104。

#include<iostream> using namespace std; typedef long long LL; const int N = 2e5 + 10; LL arr[N]; LL f[N]; int main() { LL n = 0; cin >> n; LL i = 0; for (i = 1;i <= n;i++) cin >> arr[i]; for (i = 1;i <= n;i++) f[i] = f[i - 1] + arr[i]; LL max_sum = f[1]; LL minPrev = 0; for (i = 1;i <= n;i++) { max_sum = max(max_sum, f[i] - minPrev); minPrev = min(minPrev, f[i]); } cout << max_sum; return 0; }