拉格朗日量（Lagrangian）。
拉格朗日量 \(L\) 是一个函数，它包含了系统的所有物理特性。它以18世纪数学家约瑟夫·路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）的名字命名。
对于一个简单的系统，它的定义如下：
\(L = T - V\)
其中 \(T\) 是动能（运动的能量），\(V\) 是势能（储存的能量）。
所以对于一个单摆来说：
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\(T = \frac{1}{2}m\dot{\theta}^2\)（摆动产生的动能）
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\(V = mgh = mg\ell(1-\cos\theta)\)（摆的高度产生的势能）
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\(L = \frac{1}{2}m\dot{\theta}^2 - mg\ell(1-\cos\theta)\)
妙处在于：一旦你求出了 \(L\)，你就可以用欧拉-拉格朗日方程推导出所有运动方程：
\(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\)
关于点符号，这很重要。
\(\theta\) = 角度（位置）
\(\dot{\theta}\) = 角度的变化率（速度）
点表示“对时间求导”。所以：
\(\dot{\theta} = \frac{d\theta}{dt}\)
想象一个摆锤：
\(\theta\) 表示它的位置，向左 30 度
\(\dot{\theta}\) 表示它的运动速度，每秒摆动 2 弧度
类似地：
\(\ddot{\theta} = \frac{d^2\theta}{dt^2}\) 是加速度，速度变化的快慢。
所以，当写出 \(T = \frac{1}{2}m\dot{\theta}^2\) 时，意思是动能取决于速度，即运动的快慢，而不仅仅是位置。
这个点只是“时间导数”的简写，它使公式更简洁。
这里的“简单系统”实际上指的是“非相对论经典力学，包含保守力”。这段话有点拗口，但它的意思很简单：
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运动速度不接近光速（非相对论）
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没有量子效应（经典）
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力可由势能函数导出（保守）
所以，确实存在一些更复杂的系统，\(L = T - V\) 并不适用：
电磁场： \(L\) 涉及场强，而不仅仅是 \(T - V\)
相对论： \(L = -mc^2\sqrt{1 - v^2/c^2}\)，形式完全不同
存在约束或摩擦的系统： 需要更复杂的公式
“简单”在某种程度上是为了教学方便，这是我们学习的起点。但它也确实能恰当地描述一大类真实系统：摆、弹簧、行星轨道等等。
拉格朗日公式极其通用，它几乎适用于所有物理现象。\(T-V\) 形式只是其中最简单的特例。
那么，为什么是 \(T - V\) 而不是 \(T + V\) 或其他什么呢？
真相是：这是经验观察和数学的巧妙结合。
经验上： 当我们使用 \(L = T - V\) 并应用欧拉-拉格朗日方程时，我们得到了牛顿定律。我们得到了对物体运动方式的正确预测。它行之有效。
数学上： 有一个叫做“最小作用量”的原理，自然界似乎会最小化或使其保持不变以下量：
\(S = \int L , dt = \int (T - V) , dt\)
系统沿着使该积分保持不变的路径演化。
但是，为什么自然界遵循最小作用量定律？为什么偏偏是 \(T - V\) 呢？
说实话……我们并不完全清楚，这是个深奥的谜题。我们已经发现宇宙就是这样运行的，但最终的“为什么”仍然是哲学层面的。
拉格朗日量 \(L = T - V\) 描述了系统在每个时刻的“状态”。你可以把它想象成一个分数：高动能 \(T\)？系统运动速度快，分数高。高势能 \(V\)？系统正在“储存”能量，降低得分。
然后，自然界会选择能够最大化总累积得分，即 \(S = \int L , dt\) 的时间路径。
水往低处流。