题目
求两条直线将 \(C\) 夹住。原题是求所有 \(k,m\) 的值，使得直线 \(y=kx+m\) 在 \(C\) 上方。
分析
不难证明 \(C\) 关于 \(y=-x\) 对称，这个在下文亦可证明。
\(45\degree\)？我们想起 OI 中的常见 trick：曼哈顿转切比雪夫。遂将坐标系旋转 \(45\degree\)。（实际是逆时针旋转 \(135\degree\)。）
令 \(f(y)=\frac{-2y^3-y^2+1}{6y-1}\)，则：
由此我们可知 \(C'\) 关于 \(y'\) 轴 \(x'=0\) 对称，则 \(C\) 关于直线 \(\frac{x+y}{2}=0\) 即 \(y=-x\) 对称。
图像大概是：
（我在 whk，怎么作图？随便找几个点画个大概就能看出来了。）
根据对称性，我们所求的就是 \(C'\) 上下两条水平线 \(y'=b\) 和 \(y'=a\)。
即证：
当然渐近线的要求会更严格，要求 \(\lim\limits_{|x'|\rightarrow+\infty}y'=b\)，但这个观察 \(f(y)\) 的断点是显然的。
证明
1
\(\forall y\in(-\infty,b],f(y)<0\)。由于 \(b\) 不在 \(f\) 的定义域内，因此只需证 \(y\in(-\infty,b)\) 成立。等价于证 \(g(y)=-2y^3-y^2+1\) 区间内恒正。\(g'(y)=-6y^2-2y=-2y(3y+1)\)。当 \(y<-\tfrac13\)，\(g'(y)<0\)；当 \(-\tfrac13<y<0\)，\(g'(y)>0\)；当 \(y>0\)，\(g'(y)<0\)。而 \(g(-\tfrac13)=g(b)=\frac{27}{26}\gt0\)，因此成立。
2 & 3
沿用 \(g(y)\)，只需找 \(a>\frac16\)，使：
此时恒有 \(g'(y)<0\)，故 \(g(y)\) 单减。夹一夹，\(g(\frac12)=\frac12>0\)，\(g(1)=-2<0\)，\(\exists a\in(\frac12,1),s.t.g(a)=0\)。\(a\) 即为方程 \(-2x^{3}-x^{2}+1=0\) 的唯一实根。
总结
综上所述，\(y=x-2b\) 是 \(C\) 的渐近线，其中 \(b=\frac{1}{6}\)，以及 \(C\) 下方的一条切线是 \(y=x-2a\)，其中 \(a=\sqrt[3]{\frac{53+6\sqrt{78}}{216}}+\sqrt[3]{\frac{53-6\sqrt{78}}{216}}-\frac{1}{6}\)。这两条直线夹住了 \(C\)。