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非负矩阵分解（NMF）是一种强大的无监督降维和特征提取方法，广泛应用于文本挖掘、图像处理和生物信息学等领域。它将原始高维非负数据矩阵分解为两个低秩非负矩阵的乘积，从而发现数据的潜在语义结构。然而，标准的NMF只考虑了欧氏空间的重构误差，忽略了数据点之间的内在几何结构，导致在流形分布的数据上表现不佳。

图正则化非负矩阵分解（Graph Regularized NMF，简称GNMF）正是为了解决这个问题而提出的。它在传统NMF的目标函数中引入了一个图正则项，强制相邻数据点在低维表示中保持相近，从而更好地保留数据的局部流形结构。这使得GNMF在聚类、文档表示和图像特征学习等任务中表现出显著优势。

今天我想分享一个高效的Matlab实现——GNMF核心函数。它采用乘性更新规则，确保非负约束的同时收敛稳定，支持自定义正则化强度和多种数据预处理选项，使用起来非常方便。

GNMF的核心思想与数学形式

给定数据矩阵X（m×n，非负），GNMF的目标是最小化以下目标函数：

min ||X - U V^T||² + α × Tr(V^T L V) s.t. U ≥ 0, V ≥ 0

其中：

• U（m×k）和V（n×k）是非负基矩阵和系数矩阵。

• 第一项是标准NMF的重构误差。

• 第二项是图拉普拉斯正则项，L = D - W 是图拉普拉斯矩阵，W是样本间的邻接矩阵（通常由k近邻图构建）。

• α是正则化参数，控制流形正则的强度。当α=0时，GNMF退化为普通NMF。