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雷达发射波形的自相关特性越好，越能够形成良好的主瓣增益，越低的旁瓣电平，主瓣增益能够使得检测性能提升。
ISL，积分旁瓣电平，ISL，英文全称为intergral sidelobe level，是衡量波形自相关函数旁瓣水平得指标。优化ISL主要有以下几点原因：

1. 提升距离分辨率和检测性能：在雷达系统中，自相关函数的旁瓣会掩盖弱目标，导致检测性能下降。通过降低ISL，可以减少旁瓣对主瓣的干扰，从而提高多目标分辨能力和弱目标检测能力。
2. 改善抗干扰能力：低旁瓣的波形可以减少来自不同距离的干扰，提高系统在复杂环境下的鲁棒性。
3. 提高参数估计能力：在信号处理中，自相关函数的旁瓣会影响时延、多普勒等参数的估计精度。优化ISL可以提高这些参数的估计性能。
4. 优化能量分布：恒模波形（即每个采样点的模值恒定）在通过功率放大器时不会引起失真，因此常被用于雷达和通信系统。优化恒模波形的ISL可以在不增加峰值功率的情况下，将能量更集中地分布在主瓣，从而提高系统性能。

ISL的计算公式如下：
ISL=∑k∈Ωside∣rk∣2 \text{ISL}=\sum_{k\in\Omega_{side}}|r_k|^2ISL=k∈Ωside​∑​∣rk​∣2
其中Ωside\Omega_{side}Ωside​为距离旁瓣的索引，假如仅考虑k=0k=0k=0时延处自相关函数的主瓣增益，那么Ωside=−N+1,−N+2,⋯ ,−1,1,2,⋯ ,N−1\Omega_{side}={-N+1,-N+2,\cdots,-1,1,2,\cdots,N-1}Ωside​=−N+1,−N+2,⋯,−1,1,2,⋯,N−1.。
其中自相关的计算公式如下
rk=∑k=−N+1N−1x(n)x∗(n−k) r_k=\sum_{k=-N+1}^{N-1}x(n)x^*(n-k)rk​=k=−N+1∑N−1​x(n)x∗(n−k)
下面通过梯度下降法来优化随机相位编码波形的ISL

% 文件：gradient_descent_isl.m % 目的：用梯度下降法最小化ISL（无约束版本） clear all; close all; % 参数设置 N = 128; % 波形长度 max_iter = 10; % 最大迭代次数 learning_rate = 1e-3; % 学习率 epsilon = 1e-6; % 初始化随机波形 pha = rand(N, 1); %初始话随机相位编码 s = exp(1j * 2*pi * pha); %随机相位编码波形，恒模 % 存储ISL历史 isl_history = zeros(max_iter, 1); % 梯度下降主循环 for iter = 1:max_iter isl_current = objFunction(s); isl_history(iter) = isl_current; % 3. 计算梯度（数值梯度，简单但慢 - 用于理解） gradient = myGradNum(s, epsilon); phi_new = angle(s) - learning_rate * gradient; %得到新的相位 % 4. 更新波形（最速下降方向） s = exp(1j * (phi_new)); % 显示进度 if mod(iter, 50) == 0 fprintf('迭代 %d, ISL = %.4f\n', iter, isl_current); end end % 可视化结果 figure('Position', [100, 100, 1200, 400]); % 1. ISL收敛曲线 subplot(1, 3, 1); plot(10*log10(isl_history), 'LineWidth', 2); xlabel('迭代次数'); ylabel('ISL (dB)'); title('ISL收敛曲线'); grid on; % 2. 优化前后的自相关函数对比 subplot(1, 3, 2); hold on; % 初始波形的自相关 s_initial = exp(1j * 2*pi * rand(N, 1)); r_initial = xcorr(s_initial); r_initial = r_initial / max(abs(r_initial)); plot(-(N-1):(N-1), 20*log10(abs(r_initial)), 'b--', 'LineWidth', 1.5); % 优化后波形的自相关 r_optimized = xcorr(s); r_optimized = r_optimized / max(abs(r_optimized)); plot(-(N-1):(N-1), 20*log10(abs(r_optimized)), 'r-', 'LineWidth', 1.5); xlabel('延迟'); ylabel('幅度 (dB)'); title('自相关函数对比'); legend('初始随机波形', '优化后波形'); grid on; ylim([-50, 0]); % 3. 波形相位 subplot(1, 3, 3); stem(angle(s), 'filled', 'LineWidth', 1.5); xlabel('采样点索引'); ylabel('相位 (弧度)'); title('优化后波形相位'); grid on;

为了方便，我们采用数值梯度

%% 计算数值梯度 function grad = myGradNum(x, epsilon) % 我编写的计算数值梯度的函数 % 输入： % x: 当前信号 N = length(x); %信号长度 gradient = zeros(N,1); %梯度向量 for n = 1:N isl_current = objFunction(x); %计算当前的目标函数 s_plus = x; %传递给新x phi_plus = angle(s_plus(n)) + epsilon; %取出来当前点的相位，添加一个小的扰动后的相位 s_plus(n) = exp(1j*phi_plus); %对当前点的相位进行赋值 isl_plus = objFunction(s_plus); %计算添加扰动后的的目标函数 % 数值梯度 gradient(n) = (isl_plus - isl_current) / epsilon; end grad = gradient; %返回梯度 end

目标函数如下

%% 自定义函数，目标函数 function objVal = objFunction(x) % 1. 计算当前自相关函数 r = xcorr(x); r_center = fix(length(r)/2) + 1; % 主瓣中心位置 % 2. 计算ISL（目标函数） sidelobe_indices = [1:r_center-1, r_center+1:length(r)]; %计算积分旁瓣电平 objVal = sum(abs(r(sidelobe_indices)).^2); %返回ISL end

第一个子图是目标函数值的收敛曲线，第二个是优化后的波形的自相关函数对比图，可以看到，红色曲线为优化后的，整体的旁瓣电平都降低了。

这是优化后的自相关特性，其峰值旁瓣电平达到了-27.75 dB。

可以看到经过波形优化后，ISL和PSL都有所下降，这证明了波形优化的有效性。