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在数据聚类领域，高斯混合模型（GMM）是一种经典的概率模型，但它忽略了数据的流形结构，导致在复杂数据集上性能受限。拉普拉斯正则化高斯混合模型（LapGMM）通过引入邻域图的拉普拉斯正则项，将数据的局部几何信息融入GMM的优化过程，从而提升聚类准确性。本文将详细介绍LapGMM的原理与一个MATLAB实现，重点分析其EM迭代过程、自动gamma调整和初始化策略，帮助读者理解如何应用于实际数据聚类任务。

LapGMM的原理概述

LapGMM在标准GMM的基础上添加了拉普拉斯正则化项。标准GMM假设数据服从k个高斯分量的混合，每个样本x的概率为∑ π_k N(x|μ_k, Σ_k)，通过EM算法最大化似然。

LapGMM引入亲和图W（基于样本间相似度构建），其拉普拉斯矩阵L = D - W（D为度矩阵）。正则项鼓励后验概率p(z|x)在邻域样本间平滑，即最小化∑_{i,j} W_{ij} ||p(z|x_i) - p(z|x_j)||²，这等价于trace(p’ L p)。

目标函数：似然 + λ * trace(p’ L p)，但代码中通过gamma参数融合：p_new = (1-gamma) p + gamma S p，其中S = D^{-1} W为归一化转移矩阵。

算法采用EM迭代，并在每次E步后用AutoGamma搜索最优gamma融合流形信息。

算法主要步骤

1. 初始化：

   • 使用k-means粗聚类初始化均值μ和后验pkx。

   • 假设共享协方