8 号高等线性代数，还好，看了三章。关键是看了书题也不会做啊。这书谁编的，绿不拉几的。
前两章期中复习过了。
线性空间
数域
经典问题：所有形如 \(a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}\) 的数构成数域吗？
主要问题集中于证明乘法逆元。需要说明两个问题
- \(a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}=0\) 当且仅当 \(a=b=c=0\)（线性无关）
- \((a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4})(d+c\sqrt[3]{2}+e\sqrt[3]{4})=1\) 有解。（线性方程组有解问题，其实证明矩阵行列式不是 \(0\) 即可）
经典问题 2：\(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})\) 构成数域吗。
向量
八条性质别忘了：
加法交换，加法结合，加法单位元，加法逆元。数乘单位元，数乘对向量分配，数乘对数分配，数乘结合。
线性空间
九条性质别忘了
封闭性，加法交换，加法结合，加法单位元，加法逆元。数乘单位元，数乘对向量分配，数乘对数分配，数乘结合。
基本性质
零元唯一性，加法逆元唯一性，加法消去律，\(0\cdot \alpha= 0\)，\(k\cdot 0=0\)（\(\alpha\in V,k\in \mathbb{K}\)），\((-1)\alpha=-\alpha\)，\(k\alpha=0\) 则 \(k=0\) 或 \(\alpha=0\)。
向量组的秩
- 定理 1：若 \(S\) 包含至少一个非零向量，则存在极大线性无关组。（对 \(S\) 的大小归纳）
- 定理 2：设 \(A,B\) 是 \(V\) 中两个向量组，\(A\) 有 \(r\) 个向量，\(B\) 有 \(s\) 个向量，如果 \(A\) 中每个向量都能用 \(B\) 中向量表示，如果 \(A\) 线性无关，那么 \(r\leq s\)。
- 证明：归纳法，尝试把 \(B\) 中的向量换成 \(A\) 中的向量，使得 \(B\) 中的向量仍然能线性表示 \(A\) 中向量。
- 推论，如果 \(r>s\)，那么 \(A\) 线性相关。
- 推论：如果两个向量组能相互表示，那么它们的大小相等。
- 推论：极大线性无关组向量个数相等。
- 推论：如果两个向量组能相互表示，则它们秩相等。
- 定理 3：\(n\) 维线性空间大小为 \(n\) 的向量组 \(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\)，如果满足 (1)线性无关 (2)能张成整个空间 之一，那么它就是基。（基的定义：线性无关+张成整个空间）
- 定理 4：基扩张定理。
矩阵的秩
下面证明行秩和列秩相等
- 引理 1：矩阵行初等变换不影响行秩（证明行向量组能相互表示）
- 引理 2：矩阵行初等变换不影响列秩（分块矩阵，然后找原来的极大线性无关组分析）
- 证明：初等变换成相抵标准型。
推论：求一组向量的极大无关组可以把列向量拼成矩阵，然后做初等行变换，最后阶梯点就是极大无关组。
几个推论
- 推论 1：与非异阵相乘，矩阵秩不变。
- 推论 2：\(A\) 是非异阵当且仅当 \(A\) 满秩（考虑 \(r(AI_n)=r(I_n)\)）
暂时不知道有啥用的定理：矩阵秩为 \(r\) 当且仅当存在一个 \(r\) 阶子式为 \(0\) 且任意 \(r+1\) 阶子式不为 \(0\)。
小练习：证明 \(A^2=A\) 当且仅当 \(r(A)+r(I_n-A)=n\)。
坐标向量
假设 \(\{f_1,f_2,\cdots,f_n\}\) 和 \(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\) 满足 \((f_1,f_2,\cdots,f_n)^T=P(e_1,e_2,\cdots,e_n)^T\)，\(P\) 为系数矩阵，那么 \(P\) 的转置 \(A\) 为从 \(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\) 到 \(\{f_1,f_2,\cdots,f_n\}\) 的过渡矩阵。向量在两组基下的坐标向量满足 \(\eta_e(\alpha)=A\eta_f(\alpha)\)。
若 \(E\) 到 \(F\) 的过渡矩阵为 \(A\)，\(F\) 到 \(G\) 的过渡矩阵为 \(B\)，则 \(E\) 到 \(G\) 的过渡矩阵为 \(AB\)。
子空间
感觉会证明 \(\dim (V_1\cup V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2)\) 就行。
线性方程组的解
- 有解充要条件：\(r(A)=r(\tilde{A})\)。如果 \(r(A)=r(\tilde{A})=n\) 则有唯一解。
- 齐次线性方程组的解是线性空间，非齐次就加上一个特解。找基就消元即可。