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也就是 h 门作用在其中一个 qubit 上，对应 state vector 的计算方式。

我们来详细推导H 门作用在其中一个 qubit 上时，对应的 state vector 计算方式。这里会用一个通用的方法，然后举例说明。

1. 通用规则

对于一个 n-qubit 系统，qubit 顺序假设为：

即最高位在左，最低位在右。

Hadamard 门

作用在第 k 个 qubit上（k=0 是最低位，k=n-1 是最高位）时，对应的矩阵是：

但更简单的优化做法是直接在状态向量系数上操作。

2. 基态编号与系数

设总态为：

这里​ 是 n 位二进制基态，​，其中。

若 H 作用在第 k 位（最低位​ 对应 k=0，高位对应更大的 k），那么运算只和该位有关。

3. 按固定其他位来配对

对于每个固定的其他位（即除了第 k 位外的所有 n-1 个位）：

• 有两个基态：一个是该 k 位为 0，一个是该 k 位为 1。

• H 门将这两个基态线性组合。

步骤：

1. 固定除了第 kk 位之外的所有位的二进制值。设这个 n-1 位的二进制数为t，它的取值范围是。

2. 原来的两个基态是：

   这里表示将 t 的二进制位插入到第 k 位之外的位，而第 k 位是​。

3. 设这两个基态的原系数分别是：

   ​

4. H 门的作用是：

   ​

5. 因此新系数：

   ​

   对所有 t 做这个变换。

注意：所有其他位保持不变，只是该位的 0 和 1 状态被 H 混合。

4. 如何快速找到 \alphaα 和 \betaβ 对应的索引

设总的态向量长度为，基态编号 x=0 到 N-1。

第 k 位的二进制权重是。

• 若 x 的第 k 位为 0，则 x 与是同一个 t 对应的两个基态（与）。

• 若 x 的第 k 位为 1，则 x 与配对。

更简单的做法：
取 x，计算（即。
那么配对的两个 x 是 t 和。
我们只需对 t 中第 k 位为 0 的那些 t 进行操作（避免重复计算）。

算法步骤（用于人工计算）：

1. 对于每个 t 从 0 到，但第 k 位为 0。

2. 设，。

3. ​​，​​。

4. 计算：

   ​

5. 对其他所有 t 重复。

5. 举例：3-qubit，H 在中间位 (k=1)

原态：

这里，中间位是​，对应，权重。

配对的 t：固定和，变。

列出配对：

t 的二进制：设第 1 位为 0，其他位任意。

• t=0b000 (0) → x₀=0b000 (0), x₁=0b010 (2)
  对应基：|000⟩ 与 |010⟩
  ​

• t=0b001 (1) → x₀=0b001 (1), x₁=0b011 (3)
  |001⟩ 与 |011⟩
  ​

• t=0b100 (4) → x₀=0b100 (4), x₁=0b110 (6)
  |100⟩ 与 |110⟩
  ​

• t=0b101 (5) → x₀=0b101 (5), x₁=0b111 (7)
  |101⟩ 与 |111⟩
  

变换：
对每个配对：

​​​

这样得到全部 8 个新系数。

6. 举例：具体数值例子

原态，则，其余 0。

配对 1: t=0 → α=0, β=1 → c'₀=(0+1)/√2 = 1/√2, c'₂=(0-1)/√2 = -1/√2
配对 2: t=1 → α=0, β=0 → c'₁=0, c'₃=0
配对 3: t=4 → α=0, β=0 → c'₄=0, c'₆=0
配对 4: t=5 → α=0, β=0 → c'₅=0, c'₇=0

新态：

7. H 在不同位置的区别

• 如果 H 在最低位 (k=0)，配对是 x 与 x+1（奇偶相邻）。

• 如果 H 在最高位 (k=n-1)，配对是 x 与（前半与后半对应位置）。

例如 3-qubit，H 在(k=2)：
配对：
t 的第 2 位为 0：t=0,1,2,3

即 (0,4), (1,5), (2,6), (3,7) 配对。

总结公式：
设 H 在第 k 位，对每个 t 满足 t 的第 k 位为 0，
令，
则：

其他系数由这些覆盖全部。