高等线性代数
graph TD%% 基础核心F[数域] --> V[向量空间]V --> LI[线性无关]LI --> BASIS[基与维数]V --> LM[线性映射]LM --> IMKER[像与核]IMKER --> RNT[秩零化度定理]%% 矩阵部分BASIS --> MATREP[矩阵表示]LM --> MATREPMATREP --> MATOP[矩阵运算]MATOP --> TRANSPOSE[转置矩阵]MATOP --> DETCALC[行列式计算]DETCALC --> CHARPOL[特征多项式]%% 空间构造LM --> QUOTIENT[商空间]SUBSPACE[子空间] --> QUOTIENTSUBSPACE --> ANNIHILATOR[零化子]%% 对偶理论LM --> DUAL[对偶空间]DUAL --> DUALBASIS[对偶基]BASIS --> DUALBASISDUAL --> ANNIHILATORDUAL --> DUALMAP[对偶映射]LM --> DUALMAPDUALMAP --> TRANSDEEP[转置的深层意义]TRANSPOSE --> TRANSDEEPDUAL --> BIDUAL[双重对偶]DUALMAP --> BIDUALMAP[双重对偶映射]BIDUAL --> NATISO[自然同构]%% 内积空间V --> INNER[内积空间]INNER --> ORTH[正交性]ORTH --> ORTHCOMP[正交补]SUBSPACE --> ORTHCOMPINNER --> GS[GramSchmidt正交化]BASIS --> GSGS --> ONB[标准正交基]%% Riesz连接DUAL --> RIESZ[Riesz表示定理]INNER --> RIESZRIESZ --> ADJOINT[伴随算子]LM --> ADJOINTADJOINT --> CONJTRANSPOSE[共轭转置]TRANSPOSE --> CONJTRANSPOSEONB --> CONJTRANSPOSE%% 特征值与分解MATREP --> EIGEN[特征值]CHARPOL --> EIGENEIGEN --> DIAG[可对角化]EIGEN --> JORDAN[若尔当标准型]LI --> JORDAN%% 谱定理ADJOINT --> SPECTRAL[谱定理]DIAG --> SPECTRALADJOINT --> SVD[奇异值分解]%% 多重线性代数V --> MULTILIN[多重线性代数]MULTILIN --> BILINEAR[双线性型]BILINEAR --> SYMBILIN[对称双线性型]SYMBILIN --> QUADFORM[二次型]QUADFORM --> ORTHDIAG[正交对角化]ORTH --> ORTHDIAGORTHDIAG --> INERTIA[惯性定理]INERTIA --> POSDEF[正定性]MULTILIN --> ALTFORM[交错形式]ALTFORM --> DETGEOM[行列式几何定义]DETGEOM --> EXTERIOR[外代数]DUAL --> TENSOR[张量积]MULTILIN --> TENSOR%% 关键连接DETGEOM --> CHARPOLPOSDEF --> INNER%% 适度应用扩展SVD --> LEASTSQR[最小二乘法]RNT --> LEASTSQRORTHCOMP --> LEASTSQRSPECTRAL --> PCA[主成分分析]SVD --> PCADETGEOM --> VOLUME[有向体积]VOLUME --> PARALLEL[平行六面体体积]EIGEN --> MATEXP[矩阵指数]MATEXP --> ODE[微分方程数值解]SYMBILIN --> MINKOWSKI[闵可夫斯基度规]ADJOINT --> QMOPERATOR[量子力学算符]TENSOR --> MULTIPARTICLE[多粒子态空间]%% 理论自然延伸RIESZ --> HILBERT[希尔伯特空间]DUAL --> CONTINUOUS[连续线性泛函]EXTERIOR --> DIFFFORM[微分形式]TENSOR --> TENSORFIELD[张量场]MATOP --> GLGROUP[一般线性群]ORTH --> OGROUP[正交群]
数学分析
graph TD%% 基础部分实数理论 --> 数列极限实数理论 --> 函数基础数列极限 --> 级数理论函数基础 --> 函数极限函数极限 --> 函数连续性函数连续性 --> 连续函数性质函数极限 --> 导数与微分导数与微分 --> 微分中值定理微分中值定理 --> 泰勒公式微分中值定理 --> 洛必达法则函数极限 --> 不定积分不定积分 --> 定积分定积分 --> 微积分基本定理微分中值定理 --> 微积分基本定理%% 一元函数深入泰勒公式 --> 函数逼近连续函数性质 --> 函数一致连续性定积分 --> 积分应用积分应用 --> 几何应用积分应用 --> 物理应用%% 多元函数函数极限 --> 多元函数极限多元函数极限 --> 多元连续性导数与微分 --> 偏导数偏导数 --> 全微分全微分 --> 多元泰勒公式偏导数 --> 方向导数方向导数 --> 梯度%% 多元积分定积分 --> 重积分重积分 --> 二重积分重积分 --> 三重积分定积分 --> 曲线积分曲线积分 --> 第一型曲线积分曲线积分 --> 第二型曲线积分定积分 --> 曲面积分曲面积分 --> 第一型曲面积分曲面积分 --> 第二型曲面积分%% 重要定理体系全微分 --> 隐函数定理隐函数定理 --> 反函数定理梯度 --> 条件极值条件极值 --> 拉格朗日乘数法%% 积分定理第二型曲线积分 --> 格林公式第二型曲面积分 --> 高斯公式第二型曲线积分 --> 斯托克斯公式格林公式 --> 路径无关条件路径无关条件 --> 保守场%% 级数理论深入级数理论 --> 数项级数数项级数 --> 正项级数审敛法数项级数 --> 任意项级数审敛法级数理论 --> 函数项级数函数项级数 --> 一致收敛性一致收敛性 --> 幂级数幂级数 --> 泰勒级数泰勒公式 --> 泰勒级数幂级数 --> 傅里叶级数傅里叶级数 --> 傅里叶变换%% 常微分方程导数与微分 --> 常微分方程常微分方程 --> 一阶ODE一阶ODE --> 可分离变量一阶ODE --> 一阶线性一阶ODE --> 恰当方程常微分方程 --> 高阶线性ODE泰勒公式 --> 高阶线性ODE高阶线性ODE --> 常系数线性高阶线性ODE --> 变系数线性%% 实分析基础实数理论 --> 实数完备性实数完备性 --> 聚点定理实数完备性 --> 闭区间套定理实数完备性 --> 有限覆盖定理函数一致连续性 --> 函数列一致收敛函数列一致收敛 --> 阿尔泽拉定理定积分 --> 黎曼积分理论黎曼积分理论 --> 可积性条件黎曼积分理论 --> 勒贝格积分初步%% 复分析连接函数极限 --> 复变函数极限导数与微分 --> 复导数复导数 --> 柯西黎曼方程曲线积分 --> 复积分复积分 --> 柯西积分定理柯西积分定理 --> 柯西积分公式%% 应用延伸傅里叶变换 --> 信号处理应用梯度 --> 优化理论拉格朗日乘数法 --> 经济学应用斯托克斯公式 --> 电磁学麦克斯韦方程高斯公式 --> 流体力学%% 关键连接微积分基本定理 --> 牛顿莱布尼茨公式一致收敛性 --> 逐项积分一致收敛性 --> 逐项求导隐函数定理 --> 微分几何预备全微分 --> 微分形式预备