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1. 理解 3x3 幻方的核心性质

要判断一个 3x3 的矩阵是否为幻方，必须同时满足以下几个严格条件：

1. 数字构成：必须包含 1 到 9 的所有数字，且 不重复。
2. 和相等：每一行、每一列、两条对角线的和必须相等。

数学推导（关键点）：

• 1 到 9 的总和是 45。
• 因为有 3 行，且每行和相等，所以每一行的和必须是 $45 / 3 = 15$。
• 因此，幻方常数（每行/列/对角线之和）必须固定为 15。
• 中心点性质：通过数学推导（四条穿过中心的线的和 - 3倍中心值 = 总和），可以得出 3x3 幻方的 中心元素必须是 5。
  • 这是一个非常有用的快速筛选条件：如果一个 3x3 子矩阵的中心不是 5，它一定不是幻方。

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2. 解题算法流程

我们可以采用 滑动窗口 或 枚举左上角 的方式来遍历整个 grid。

步骤如下：

1. 边界检查：

   • 如果 grid 的行数或列数小于 3，直接返回 0（无法构成 3x3 矩阵）。

2. 遍历所有可能的 3x3 子矩阵：

   • 设 R 为行数，C 为列数。
   • 我们需要枚举子矩阵的左上角坐标 $(i, j)$。
   • $i$ 的范围是从 $0$ 到 $R - 3$。
   • $j$ 的范围是从 $0$ 到 $C - 3$。

3. 对每个子矩阵进行验证：

   对于以 $(i, j)$ 为左上角的 3x3 区域，执行以下检查：

   • 快速检查：看中心元素 grid[i+1][j+1] 是否为 5。如果不是，直接跳过。
   • 范围与去重检查：
     • 遍历该 3x3 区域的 9 个数字。
     • 确保每个数字都在 1-9 之间。
     • 确保没有重复数字（可以使用一个布尔数组或哈希集合来记录）。
   • 和的检查：
     • 计算 3 行的和，看是否都等于 15。
     • 计算 3 列的和，看是否都等于 15。
     • 计算 2 条对角线的和，看是否都等于 15。
     • (注：如果数字 1-9 不重复且中心为 5，其实只要检查行和列即可，但为了逻辑严谨，全检查也不会超时)。

4. 计数：

   • 如果上述所有条件都满足，计数器 +1。

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3. 代码实现示例 (C++)

#include <vector>
#include <numeric>using namespace std;class Solution {
public:int numMagicSquaresInside(vector<vector<int>>& grid) {int rows = grid.size();int cols = grid[0].size();if (rows < 3 || cols < 3) return 0;int count = 0;// 遍历所有可能的 3x3 子矩阵左上角 (i, j)for (int i = 0; i <= rows - 3; ++i) {for (int j = 0; j <= cols - 3; ++j) {if (isMagic(grid, i, j)) {count++;}}}return count;}private:bool isMagic(const vector<vector<int>>& grid, int r, int c) {// 1. 快速检查：3x3 幻方的中心元素必须是 5if (grid[r + 1][c + 1] != 5) return false;// 2. 检查数字是否在 1-9 之间且不重复// 使用一个简单的频次数组（或位运算）来记录int count[16] = {0}; for (int i = r; i < r + 3; ++i) {for (int j = c; j < c + 3; ++j) {int val = grid[i][j];// 如果数字不在 1-9 范围内，或者出现重复，则不是幻方if (val < 1 || val > 9 || ++count[val] > 1) {return false;}}}// // 3. 检查行、列、对角线之和是否均为 15// 检查行和if (grid[r][c] + grid[r][c+1] + grid[r][c+2] != 15) return false;if (grid[r+1][c] + grid[r+1][c+1] + grid[r+1][c+2] != 15) return false;if (grid[r+2][c] + grid[r+2][c+1] + grid[r+2][c+2] != 15) return false;// 检查列和if (grid[r][c] + grid[r+1][c] + grid[r+2][c] != 15) return false;if (grid[r][c+1] + grid[r+1][c+1] + grid[r+2][c+1] != 15) return false;if (grid[r][c+2] + grid[r+1][c+2] + grid[r+2][c+2] != 15) return false;// 检查两条对角线和if (grid[r][c] + grid[r+1][c+1] + grid[r+2][c+2] != 15) return false;if (grid[r][c+2] + grid[r+1][c+1] + grid[r+2][c] != 15) return false;return true;}
};

4. 复杂度分析

• 时间复杂度：$O(R \times C)$。
  • 我们需要遍历网格中的每个单元格作为潜在的左上角。
  • 对于每个位置，我们只检查固定的 9 个格子（常数时间操作）。
  • 因为 $R, C \le 10$，计算量非常小。
• 空间复杂度：$O(1)$。
  • 只使用了常数级别的额外空间来存储临时变量。