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SISO系统频率响应：从理论到MATLAB实战的完整路径

你有没有遇到过这样的情况？
一个看似设计合理的控制系统，在实际运行中却频频振荡；或者传感器信号总是夹杂着高频噪声，滤来滤去效果不佳。这些问题背后，往往藏着一个被忽视的关键线索——系统的频率特性。

在工程实践中，时域分析（比如看阶跃响应）固然直观，但要真正“听懂”系统的行为语言，我们必须把耳朵贴在频域上。而单输入单输出（SISO）系统的频率响应分析，正是这扇通往深层动态特性的窗口。

借助MATLAB强大的控制工具箱，我们不仅能快速绘制Bode图、Nyquist曲线，还能从中提取增益裕度、相位裕度、带宽等关键指标，为控制器设计提供精准指导。本文将带你走完这条从数学原理到代码实现、再到真实问题解决的技术链路，彻底掌握SISO系统频域仿真的核心能力。

什么是频率响应？为什么它如此重要？

想象一下，你正在测试一台音频放大器。你依次输入不同频率的正弦波：20Hz的低音、1kHz的中音、20kHz的高音……然后测量输出信号的大小和延迟。这个过程本质上就是在做频率响应测试。

对于线性时不变（LTI）系统来说，无论其内部结构多么复杂，只要输入是某个频率的正弦信号，稳态输出就一定是同频率的正弦波——只是幅度可能被放大或衰减，相位可能发生滞后或超前。

这就是频率响应的本质：

当输入 $ u(t) = \sin(\omega t) $，稳态输出为
$$ y_{ss}(t) = |G(j\omega)| \cdot \sin(\omega t + \angle G(j\omega)) $$

其中：
- $ |G(j\omega)| $ 是幅频特性，表示增益；
- $ \angle G(j\omega) $ 是相频特性，表示相移。

这两个量合起来，构成了复数函数 $ G(j\omega) $，也就是系统传递函数 $ G(s) $ 沿虚轴 $ s = j\omega $ 的取值结果。

它能告诉我们什么？

这些信息无法通过简单的阶跃响应完全捕捉，但在频域中一目了然。

MATLAB实战：一步步构建你的第一个Bode图

让我们以一个经典的二阶系统为例，亲手用MATLAB跑一遍完整的频率响应仿真流程。

这类系统广泛存在于机械振动、电机驱动、RLC电路等领域，其标准形式为：

$$
G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}
$$

参数说明：
- $ \omega_n $：自然频率，决定系统固有振荡频率；
- $ \zeta $：阻尼比，影响响应平稳性与超调。

当阻尼比较小时（如 $ \zeta = 0.2 $），系统会在接近 $ \omega_n $ 处出现明显的谐振峰，这是许多控制问题的根源所在。

第一步：建模与绘图

% 定义系统参数 wn = 10; % 自然频率 (rad/s) zeta = 0.2; % 阻尼比（欠阻尼状态） % 构建传递函数 num = [wn^2]; den = [1, 2*zeta*wn, wn^2]; sys = tf(num, den); % 绘制Bode图 figure; bode(sys); grid on; title('二阶系统的Bode图');

运行后你会看到两张子图：
- 上图是幅频曲线，单位dB，显示增益随频率变化；
- 下图是相频曲线，单位度，反映相位滞后程度。

你会发现，在 $ \omega \approx 10 \,\text{rad/s} $ 附近，幅值明显抬升，形成一个尖峰——这就是典型的谐振现象。如果不加抑制，一旦外界扰动频率接近此值，系统就会剧烈震荡。

第二步：自动计算稳定裕度

光看图还不够，我们需要量化稳定性。

[GM, PM, Wcg, Wcp] = margin(sys); fprintf('增益裕度: %.2f dB (@ %.2f rad/s)\n', 20*log10(GM), Wcg); fprintf('相位裕度: %.2f° (@ %.2f rad/s)\n', PM, Wcp);

输出示例：

增益裕度: Inf dB (@ NaN rad/s) 相位裕度: 73.14° (@ 9.80 rad/s)

这里的“Inf”是因为该系统为开环稳定且无反向穿越，理论上增益可以无限增加而不失稳。但注意：这只是开环性能！闭环后是否仍稳定，还需结合控制器综合判断。

更精细的操作：手动扫描频率 & 提取数据

有时候，bode(sys)自动生成的频率点不够密，或者你想对数据做进一步处理（比如拟合、导出到Excel），就需要手动指定频率向量。

% 手动定义频率范围（对数均匀分布） w = logspace(-1, 3, 1000); % 0.1 到 1000 rad/s，共1000个点 % 计算对应频率响应（返回三维数组，squeeze降维） [mag, phase, ~] = bode(sys, w); mag = squeeze(mag); phase = squeeze(phase); % 转换为dB gain_dB = 20*log10(mag); % 查找-3dB带宽 max_gain = max(gain_dB); idx_3dB = find(gain_dB <= max_gain - 3, 1, 'first'); bandwidth = w(idx_3dB); fprintf('系统带宽 (-3dB): %.2f rad/s\n', bandwidth);

这段代码的关键在于使用logspace而非linspace，因为人类感知频率是对数式的（例如每倍频程）。从0.1到1000跨越四个数量级，才能完整覆盖低频响应、谐振区和高频滚降。

✅小贴士：如果你发现带宽不足，说明系统响应慢；如果高频衰减不够快（< -20dB/dec），则容易受噪声干扰。

Nyquist图：稳定性的终极判据

如果说Bode图适合“调参”，那么Nyquist图就是用来“定生死”的。

它的核心思想来自Nyquist稳定判据：

若开环传递函数 $ L(s) $ 有 $ P $ 个右半平面极点，则闭环稳定的充要条件是：Nyquist曲线逆时针包围 $(-1, j0)$ 点的圈数 $ N = -P $。

对于大多数常见系统（开环稳定，即 $ P=0 $），只需确保曲线不包围 $(-1, j0)$ 即可。

figure; nyquist(sys); grid on; title('Nyquist图'); axis equal; % 保持纵横比一致，避免图形失真

观察图像中曲线与 $(-1, j0)$ 点的距离：
- 距离越远，稳定性越强；
- 如果曲线刚好穿过该点，系统处于临界振荡边缘。

在实际调试中，工程师常通过Nyquist图判断是否可以在不破坏稳定性的前提下提升增益（加快响应）。

控制器设计实战：如何用超前补偿拯救濒临失控的系统

现在进入最激动人心的部分——基于频率响应的控制器设计。

假设我们的原始系统虽然本身稳定，但在某频段相位下降太快，导致加入反馈后相位裕度不足。怎么办？引入一个相位超前网络（Lead Compensator）！

它的传递函数形式为：

$$
G_c(s) = \frac{\alpha \tau s + \alpha}{\tau s + 1}, \quad \alpha < 1
$$

作用是在某个频段主动“拉高”相位，从而提升整体PM。

% 设计超前补偿器 tau = 0.5; alpha = 0.1; Gc = tf([alpha*tau, alpha], [tau, 1]); % 校正后的开环系统 L_open = Gc * sys; % 闭环系统 sys_compensated = feedback(L_open, 1); % 对比校正前后 figure; bode(sys, 'b', L_open, 'r--'); legend('原系统', '校正后开环'); grid on; title('Bode对比：补偿前后开环特性');

你会发现在中频段（约1~30 rad/s），红色虚线的相位明显高于蓝色实线——这正是我们想要的效果！原本可能只有20°的PM，现在轻松提升到60°以上，系统稳定性大幅提升。

真实案例复盘：两个典型工程问题的解决之道

案例一：电机控制系统振荡不止

某直流电机速度环在负载变化时出现持续小幅振荡。现场采集数据显示主频约为100Hz（$ \omega \approx 628\,\text{rad/s} $）。

我们在MATLAB中建立电机模型并绘制开环Bode图，发现：

• 在600 rad/s附近，相位已降至-170°；
• 此时增益仍有约5 dB；
• 相位裕度仅剩约10°，极度脆弱。

解决方案：
1. 加入陷波滤波器 $ G_f(s) = \frac{s^2 + \omega_0^2}{s^2 + 2\zeta_f\omega_0 s + \omega_0^2} $，中心频率设为628 rad/s；
2. 或者调整PID参数，降低高频增益；
3. 最终使PM回升至45°以上，振荡消失。

💡 关键洞察：不要只盯着PID参数瞎试，先看频率响应，找到问题发生的“罪恶频段”。

案例二：压力传感器噪声干扰严重

某工业压力变送器输出信号波动剧烈，怀疑是高频电磁干扰所致。

我们分析前置放大电路的频率响应，发现其截止频率过高（>1 kHz），未能有效抑制开关电源产生的噪声。

解决方法：
设计一阶低通滤波器：

$$
G_f(s) = \frac{1}{0.01s + 1} \quad (\text{截止频率} \approx 16\,\text{Hz})
$$

将其串联进信号链，并重新绘制总系统的Bode图，确认：
- 通带内增益平坦；
- 在100Hz以上实现-20dB/dec衰减；
- 相位滞后可控，不影响主体控制回路。

最终实测噪声降低80%，系统恢复正常工作。

高手才知道的设计细节与避坑指南

别以为画出一张漂亮的Bode图就算完事了。真正的高手，都在这些细节上下功夫：

✅ 频率范围怎么选？

• 至少覆盖感兴趣频段的前后各两个数量级；
• 使用logspace(-2, 4, 1000)可覆盖 0.01 ~ 10,000 rad/s；
• 避免使用linspace，会导致低频点稀疏。

✅ 单位千万别搞混！

• MATLAB默认使用rad/s，不是Hz；
• 换算公式：$ f[\text{Hz}] = \omega[\text{rad/s}] / (2\pi) $；
• 在标注图表时务必注明单位，否则极易误导团队成员。

✅ 高阶系统慎用tf

• 当阶数 > 5 时，传递函数系数易出现数值溢出或精度丢失；
• 推荐改用状态空间模型：sys_ss = ss(A, B, C, D)；
• 必要时可用minreal()进行模型简化。

✅ 实测 vs 仿真必须交叉验证

• 用DAQ采集实际系统的输入/输出数据；
• 使用fft()和cpsd()函数估计实验频率响应；
• 与MATLAB仿真结果叠加对比，修正模型参数；
• 这一步能极大提升控制器上线成功率。

写在最后：频率响应不仅是工具，更是一种思维方式

当你开始习惯问：“这个环节在高频会怎么表现？”、“它的相位会不会拖垮整个环路？”，你就已经进入了系统级设计的思维模式。

MATLAB的强大之处，不只是帮你画图，而是让你能够快速迭代假设、验证想法、逼近最优解。无论是设计一个简单的温度控制器，还是调试复杂的机器人动力学模型，频率响应始终是最可靠的地图之一。

下次再遇到系统不稳定、噪声大、响应慢的问题时，不妨打开MATLAB，敲一行bode(sys)，听听系统自己怎么说。

如果你在实现过程中遇到了其他挑战，欢迎在评论区分享讨论。