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前情概要

典例剖析

【来自知乎问答】若 \(f(x)\) 关于 \((1,0)\) 对称，则 \(f(2x+1)\) 关于谁对称 .

1. 首先明确函数图象平移变换与对称中心的关系：
   • 已知\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)对称，若\(y = f(x)\)的图象变换为\(y = f(x + m)+n\)的图象。
   • 对于函数\(y = f(x)\)到\(y = f(x + m)\)，是图象向左（\(m\gt0\)）或向右（\(m\lt0\)）平移\(\vert m\vert\)个单位；对于函数\(y = f(x + m)\)到\(y = f(x + m)+n\)，是图象向上（\(n\gt0\)）或向下（\(n\lt0\)）平移\(\vert n\vert\)个单位。
   • 那么函数\(y = f(x)\)关于点\((a,b)\)对称，函数\(y = f(x + m)+n\)就关于点\((a - m,b + n)\)对称。
2. 对于\(y = f(2x + 1)\)，设\(t = 2x+1\)，则\(x=\frac{t - 1}{2}\)，即\(y = f(2x + 1)\)可看作是由\(y = f(t)\)通过\(t = 2x+1\)变换得到。
   • 由\(y = f(x)\)到\(y = f(2x + 1)\)，先考虑\(y = f(x)\)到\(y = f(2x)\)的变换，这是将\(y = f(x)\)图象上所有点的横坐标缩短为原来的\(\frac{1}{2}\)（纵坐标不变），此时\(y = f(x)\)关于点\((1,0)\)对称，\(y = f(2x)\)关于点\((\frac{1}{2},0)\)对称（因为横坐标变为原来的\(\frac{1}{2}\)，对称中心横坐标也变为原来的\(\frac{1}{2}\)）。
   • 再由\(y = f(2x)\)到\(y = f(2x + 1)\)，是将\(y = f(2x)\)的图象向左平移\(\frac{1}{2}\)个单位（根据\(2x\)到\(2x + 1\)，即\(2(x+\frac{1}{2})\)）。
   • 根据函数图象平移与对称中心的关系，\(y = f(2x)\)关于点\((\frac{1}{2},0)\)对称，向左平移\(\frac{1}{2}\)个单位后，\(y = f(2x + 1)\)关于点\((0,0)\)对称。

综上，\(f(2x + 1)\)关于原点\((0,0)\)对称。

1. 一般结论：
   • 若函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)对称，对于函数\(y = f(cx + d)\)（\(c\neq0\)），其对称中心的求解步骤如下：
     • 设\(t = cx + d\)，则\(x=\frac{t - d}{c}\)。
     • 函数\(y = f(x)\)关于点\((a,b)\)对称，当进行横坐标的伸缩变换\(y = f(cx)\)时，对称中心变为\((\frac{a}{c},b)\)（因为横坐标伸缩倍数为\(\frac{1}{c}\)，所以对称中心横坐标变为原来的\(\frac{1}{c}\)，纵坐标不变）。
     • 再进行平移变换得到\(y = f(cx + d)=f\left(c\left(x+\frac{d}{c}\right)\right)\)，根据函数图象平移与对称中心的关系，\(y = f(cx)\)图象向左（\(\frac{d}{c}\gt0\)）或向右（\(\frac{d}{c}\lt0\)）平移\(\vert\frac{d}{c}\vert\)个单位，此时\(y = f(cx + d)\)的对称中心为\((\frac{a - d}{c},b)\)。
2. 简单记忆结论：
   • 若\(f(x)\)关于点\((a,b)\)对称，那么\(f(cx + d)\)关于点\((\frac{a - d}{c},b)\)对称。
   • 例如在前面\(f(x)\)关于\((1,0)\)对称求\(f(2x + 1)\)对称中心的问题中，这里\(a = 1\)，\(b = 0\)，\(c = 2\)，\(d = 1\)，根据结论\(f(2x + 1)\)关于点\((\frac{1 - 1}{2},0)=(0,0)\)对称，与前面推导结果一致。这样在遇到此类问题时，直接代入\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)的值就可以快速得出\(f(cx + d)\)的对称中心。

再扩展到 \(e\cdot f(cx+d)+k\) 型的

1. 推导过程：
   • 已知函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)对称。
   • 对于函数\(y = f(cx + d)\)（\(c\neq0\)），设\(t = cx + d\)，即\(x=\frac{t - d}{c}\)。由\(y = f(x)\)到\(y = f(cx)\)，图象横坐标伸缩为原来的\(\frac{1}{c}\)，对称中心变为\((\frac{a}{c},b)\)；再到\(y = f(cx + d)\)，图象向左（\(\frac{d}{c}\gt0\)）或向右（\(\frac{d}{c}\lt0\)）平移\(\vert\frac{d}{c}\vert\)个单位，此时\(y = f(cx + d)\)的对称中心为\((\frac{a - d}{c},b)\)。
   • 对于函数\(y = ef(cx + d)\)（\(e\neq0\)），它是由\(y = f(cx + d)\)进行纵坐标的伸缩变换得到的。纵坐标伸缩变换不改变对称中心的横坐标，只改变纵坐标。因为\(y = f(cx + d)\)关于点\((\frac{a - d}{c},b)\)对称，\(y = ef(cx + d)\)的图象是将\(y = f(cx + d)\)图象上各点的纵坐标伸长（\(\vert e\vert\gt1\)）或缩短（\(0\lt\vert e\vert\lt1\)）为原来的\(\vert e\vert\)倍，所以\(y = ef(cx + d)\)的对称中心为\((\frac{a - d}{c},eb)\)。
   • 对于函数\(y = ef(cx + d)+k\)（\(e\neq0\)），它是由\(y = ef(cx + d)\)进行上下平移得到的。将\(y = ef(cx + d)\)的图象向上（\(k\gt0\)）或向下（\(k\lt0\)）平移\(\vert k\vert\)个单位，对称中心的横坐标不变，纵坐标在\(eb\)的基础上加上\(k\)。所以\(y = ef(cx + d)+k\)的对称中心为\((\frac{a - d}{c},eb + k)\)。
2. 结论：
   • 若函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)对称，那么函数\(y = ef(cx + d)+k\)（\(c\neq0,e\neq0\)）的图象关于点\((\frac{a - d}{c},eb + k)\)对称。

例如，已知\(f(x)\)关于点\((2,3)\)对称，对于函数\(5f(3x - 1)+2\)，这里\(a = 2\)，\(b = 3\)，\(c = 3\)，\(d=-1\)，\(e = 5\)，\(k = 2\)，根据结论，其对称中心为\((\frac{2-(-1)}{3},5\times3 + 2)=(1,17)\)。