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前情概要

其实，这类结构不良试题，是前几年比较流行的模考测试题目。

典例剖析

【2021届高三理科数学月考三第17题】已知①\(b^2\)\(+\)\(\sqrt{2}ac\)\(=\)\(a^2\)\(+\)\(c^2\)，②\(a\cos B\)\(=\)\(b\sin A\)，③\(\sin B\)\(+\)\(\cos B\)\(=\)\(\sqrt{2}\)，在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决问题.

已知\(\triangle ABC\)的内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边为\(a\)，\(b\)，\(c\)，_____________，\(A=\cfrac{\pi}{3}\)，\(b=\sqrt{2}\)，求\(\triangle ABC\)的面积；

分析：由①\(b^2+\sqrt{2}ac=a^2+c^2\)可得，\(\cos B=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，则\(B=\cfrac{\pi}{4}\)；

由②\(a\cos B=b\sin A\)可得，\(\sin A\cos B=\sin B\sin A\)，即\(\sin B=\cos B\)，则\(B=\cfrac{\pi}{4}\)；

由③\(\sin B+\cos B=\sqrt{2}\)可得，\(\sqrt{2}sin(B+\cfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}\)，即\(sin(B+\cfrac{\pi}{4})=1\)，则\(B=\cfrac{\pi}{4}\)；

故不论选择哪一个，通过不同的变形，都会得到条件\(B=\cfrac{\pi}{4}\)，故原问题等价于：

已知\(\triangle ABC\)的内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边为\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(B=\cfrac{\pi}{4}\)，\(A=\cfrac{\pi}{3}\)，\(b=\sqrt{2}\)，求\(\triangle ABC\)的面积；

则由正弦定理\(\cfrac{a}{\sin A}=\cfrac{b}{\sin B}\)，可得\(a=\sqrt{3}\)，

故\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}ab\sin C=\cfrac{1}{2}ab\sin (A+B)=\cfrac{1}{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}\times\sin(\cfrac{\pi}{4}+\cfrac{\pi}{3})\)

\(=\cfrac{3+\sqrt{3}}{4}\)；